Seja uma matriz triangular inferior e e o seguinte problema: determinar tal que . Escreva o algoritmo da substituição direta para resolver este sistema linear e faça a análise da complexidade computacional do algoritmo, ou seja, calcule o número de operações que o algoritmo executa.
Passo 1
Então, temos um problema de álgebra linear onde precisamos encontrar um vetor que satisfaz a equação . Aqui, é uma matriz triangular inferior de tamanho , e é um vetor de dimensão . Vamos utilizar o método de substituição direta, que é ideal para resolver sistemas lineares com matrizes triangulares. Para isso, vamos precisar entender como a substituição direta funciona e contar quantas operações matemáticas ela realiza.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular inferior. É uma matriz onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Ou seja, para todos , temos . Isso simplifica bastante a resolução, pois podemos resolver as equações uma de cada vez, começando pela primeira linha.
Passo 3
Vamos escrever o sistema explicitamente. Para cada linha de a , temos:
Mas, como é triangular inferior, todos os termos com são zero, então a equação simplifica para:
Passo 4
O método de substituição direta resolve esse sistema de forma sequencial. Começamos pela primeira equação, pois nela só há , resolvemos para , depois substituímos esse valor na segunda equação para encontrar , e assim por diante até . A ideia é isolar cada variável uma de cada vez.
Passo 5
Vamos elaborar o algoritmo passo a passo:
Para de a :
Calcular a soma
Encontrar usando
Passo 6
Agora, vamos analisar a complexidade computacional. Para cada equação , precisamos realizar multiplicações e adições para calcular a soma , além de uma subtração e uma divisão para encontrar . Portanto, para cada , temos aproximadamente operações.
Passo 7
Para todo o sistema, somamos as operações para de a :
Portanto, o número total de operações é da ordem de .
Resposta
O algoritmo de substituição direta para resolver envolve resolver cada variável sequencialmente, realizando aproximadamente operações, resultando em uma complexidade computacional de ordem .