Seja L in R^n times n uma matriz triangular inferior e b in R^n e o seguinte problema: determinar x tal que L x=b. Escreva o algoritmo da substituição direta para resolver este sistema linear e faça a análise da complexidade computacional do algoritmo, ou seja, calcule o número de operações que o algoritmo executa.

Passo 1

Então, temos um problema de álgebra linear onde precisamos encontrar um vetor x que satisfaz a equação Lx = b. Aqui, L é uma matriz triangular inferior de tamanho n times n, e b é um vetor de dimensão n. Vamos utilizar o método de substituição direta, que é ideal para resolver sistemas lineares com matrizes triangulares. Para isso, vamos precisar entender como a substituição direta funciona e contar quantas operações matemáticas ela realiza.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular inferior. É uma matriz onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Ou seja, para todos i < j, temos Lij = 0. Isso simplifica bastante a resolução, pois podemos resolver as equações uma de cada vez, começando pela primeira linha.

Passo 3

Vamos escrever o sistema Lx = b explicitamente. Para cada linha i de 1 a n, temos:
Li1x1 + Li2x2 + dots + Liixi = bi
Mas, como L é triangular inferior, todos os termos Lij com j > i são zero, então a equação simplifica para:
Liixi + Li, i-1xi-1 + dots + Li1x1 = bi

Passo 4

O método de substituição direta resolve esse sistema de forma sequencial. Começamos pela primeira equação, pois nela só há x1, resolvemos para x1, depois substituímos esse valor na segunda equação para encontrar x2, e assim por diante até xn. A ideia é isolar cada variável uma de cada vez.

Passo 5

Vamos elaborar o algoritmo passo a passo:
  1. Para i de 1 a n:
    • Calcular a soma S = Li1x1 + Li2x2 + dots + Li,i-1xi-1
    • Encontrar xi usando xi = bi - SLii

Passo 6

Agora, vamos analisar a complexidade computacional. Para cada equação i, precisamos realizar (i-1) multiplicações e (i-1) adições para calcular a soma S, além de uma subtração e uma divisão para encontrar xi. Portanto, para cada i, temos aproximadamente 2(i-1) + 2 operações.

Passo 7

Para todo o sistema, somamos as operações para i de 1 a n:
sumi=1^n [2(i-1) + 2] = 2sumi=1^n(i-1) + 2n = 2(n(n-1)2) + 2n = n(n-1) + 2n = n^2 + n
Portanto, o número total de operações é da ordem de O(n^2).

Resposta

O algoritmo de substituição direta para resolver Lx = b envolve resolver cada variável sequencialmente, realizando aproximadamente n^2 + n operações, resultando em uma complexidade computacional de ordem O(n^2).

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