Seja
uma matriz triangular inferior e
e o seguinte problema: determinar
tal que
. Escreva o algoritmo da substituição direta para resolver este sistema linear e faça a análise da complexidade computacional do algoritmo, ou seja, calcule o número de operações que o algoritmo executa.
Passo 1
Então, temos um problema de álgebra linear onde precisamos encontrar um vetor
que satisfaz a equação
. Aqui,
é uma matriz triangular inferior de tamanho
, e
é um vetor de dimensão
. Vamos utilizar o método de substituição direta, que é ideal para resolver sistemas lineares com matrizes triangulares. Para isso, vamos precisar entender como a substituição direta funciona e contar quantas operações matemáticas ela realiza.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular inferior. É uma matriz onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Ou seja, para todos
, temos
. Isso simplifica bastante a resolução, pois podemos resolver as equações uma de cada vez, começando pela primeira linha.
Passo 3
Vamos escrever o sistema
explicitamente. Para cada linha
de
a
, temos:
Mas, como
é triangular inferior, todos os termos
com
são zero, então a equação simplifica para:
Passo 4
O método de substituição direta resolve esse sistema de forma sequencial. Começamos pela primeira equação, pois nela só há
, resolvemos para
, depois substituímos esse valor na segunda equação para encontrar
, e assim por diante até
. A ideia é isolar cada variável uma de cada vez.
Passo 5
Vamos elaborar o algoritmo passo a passo:
- Para
de a : - Calcular a soma
- Encontrar
usando
- Calcular a soma
Passo 6
Agora, vamos analisar a complexidade computacional. Para cada equação
, precisamos realizar
multiplicações e
adições para calcular a soma
, além de uma subtração e uma divisão para encontrar
. Portanto, para cada
, temos aproximadamente
operações.
Passo 7
Para todo o sistema, somamos as operações para
de
a
:
Portanto, o número total de operações é da ordem de
.
Resposta
O algoritmo de substituição direta para resolver
envolve resolver cada variável sequencialmente, realizando aproximadamente
operações, resultando em uma complexidade computacional de ordem
.