Resolver o sistema linear abaixo pelo método da Eliminação de Gauss:
l x1+6 x2+2 x3+4 x4=8 3 x1+19 x2+4 x3+15 x4=25 x1+4 x2+8 x3-12 x4=18 5 x1+33 x2+9 x3+3 x4=72

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
l x1 + 6x2 + 2x3 + 4x4 = 8 3x1 + 19x2 + 4x3 + 15x4 = 25 x1 + 4x2 + 8x3 - 12x4 = 18 5x1 + 33x2 + 9x3 + 3x4 = 72
Vamos precisar do conteúdo de matrizes e operações com elas para aplicar a eliminação de Gauss. O objetivo é transformar esse sistema em uma forma onde possamos resolver uma equação de cada vez, isolando as variáveis passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos independentes juntos:
1 & 6 & 2 & 4 & | & 8 3 & 19 & 4 & 15 & | & 25 1 & 4 & 8 & -12 & | & 18 5 & 33 & 9 & 3 & | & 72

Passo 3

O próximo passo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha, primeira coluna). Para isso, vamos fazer operações nas linhas.
  • Linha 2: Subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair a Linha 1 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 5 vezes a Linha 1 da Linha 4.
Vamos fazer essas operações:
Linha 2:
3 - 3 times 1 = 0 19 - 3 times 6 = 19 - 18 = 1 4 - 3 times 2 = 4 - 6 = -2 15 - 3 times 4 = 15 - 12 = 3 25 - 3 times 8 = 25 - 24 = 1
Linha 3:
1 - 1 times 1 = 0 4 - 1 times 6 = 4 - 6 = -2 8 - 1 times 2 = 8 - 2 = 6 -12 - 1 times 4 = -12 - 4 = -16 18 - 1 times 8 = 18 - 8 = 10
Linha 4:
5 - 5 times 1 = 0 33 - 5 times 6 = 33 - 30 = 3 9 - 5 times 2 = 9 - 10 = -1 3 - 5 times 4 = 3 - 20 = -17 72 - 5 times 8 = 72 - 40 = 32
Então, a matriz fica assim:
1 & 6 & 2 & 4 & | & 8 0 & 1 & -2 & 3 & | & 1 0 & -2 & 6 & -16 & | & 10 0 & 3 & -1 & -17 & | & 32

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna e zerar os elementos abaixo do pivô 1 na Linha 2.
  • Linha 3: Adicionar 2 vezes a Linha 2 à Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 3 vezes a Linha 2 da Linha 4.
Linha 3:
0 + 2 times 0 = 0 -2 + 2 times 1 = -2 + 2 = 0 6 + 2 times (-2) = 6 - 4 = 2 -16 + 2 times 3 = -16 + 6 = -10 10 + 2 times 1 = 10 + 2 = 12
Linha 4:
0 - 3 times 0 = 0 3 - 3 times 1 = 3 - 3 = 0 -1 - 3 times (-2) = -1 + 6 = 5 -17 - 3 times 3 = -17 - 9 = -26 32 - 3 times 1 = 32 - 3 = 29
A matriz agora fica:
1 & 6 & 2 & 4 & | & 8 0 & 1 & -2 & 3 & | & 1 0 & 0 & 2 & -10 & | & 12 0 & 0 & 5 & -26 & | & 29

Passo 5

Seguimos para a terceira coluna. Vamos zerar o elemento abaixo do pivô 2 na Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 52 vezes a Linha 3 da Linha 4.
Calculando:
5 - 52 times 2 = 5 - 5 = 0 -26 - 52 times (-10) = -26 + 25 = -1 29 - 52 times 12 = 29 - 30 = -1
Então, a matriz fica:
1 & 6 & 2 & 4 & | & 8 0 & 1 & -2 & 3 & | & 1 0 & 0 & 2 & -10 & | & 12 0 & 0 & 0 & -1 & | & -1

Passo 6

Agora que temos a matriz triangular, vamos resolver de baixo para cima.
Linha 4:
-1x4 = -1 x4 = 1
Linha 3:
2x3 - 10x4 = 12 2x3 - 10(1) = 12 2x3 = 22 x3 = 11
Linha 2:
x2 - 2x3 + 3x4 = 1 x2 - 2(11) + 3(1) = 1 x2 - 22 + 3 = 1 x2 = 20
Linha 1:
x1 + 6x2 + 2x3 + 4x4 = 8 x1 + 6(20) + 2(11) + 4(1) = 8 x1 + 120 + 22 + 4 = 8 x1 + 146 = 8 x1 = -138

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -138, x2 = 20, x3 = 11, x4 = 1

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