(3,0 p) Usando a regra de Simpson, calcule a integral
integral0^1 e^-x^2 d x
com erro menor que 10^-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral usando a regra de Simpson, garantindo que o erro seja menor que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral numérico, especificamente a regra de Simpson, e entender como controlar o erro nessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson. Ela é uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas usando parábolas para estimar a área sob a curva. A fórmula básica da regra de Simpson para integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumímpares f(xi) + 2 sumpares f(xi) + f(xn) ] subintervalos (onde deve ser par) é:
í
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar quantos subintervalos ( |E| <= M(b - a)^5180 n^4 ) usar para garantir que o erro seja menor que f'(x) = -2x e^-x^2 . A fórmula do erro para a regra de Simpson é:
f''(x) = (-2 + 4x^2) e^-x^2
Onde f'''(x) = (12x - 8x^3) e^-x^2 é o máximo valor absoluto da quarta derivada de f''''(x) = (12 - 48x^2 + 16x^4) e^-x^2 no intervalo M = |f''''(0)| = 12 e^0 = 12 .
Para a função 12 cdot (1 - 0)^5180 n^4 <= 10^-4 , calculamos as derivadas até a quarta:
12180 n^4 <= 10^-4
115 n^4 <= 10^-4
n^4 >= 115 times 10^-4 = 11.5 times 10^-3 approx 666.67
n >= raiz[4]666.67 approx 5.08
No intervalo , o valor máximo de ocorre em :
Agora, substituindo na fórmula do erro:
Como precisa ser par, escolhemos .

Passo 4

Com h = 1 - 06 = 16 approx 0.1667 , calculamos o tamanho do passo:
x0 = 0, x1 = 16, x2 = 26, x3 = 36, x4 = 46, x5 = 56, x6 = 1
Agora, determinamos os pontos f(x0) = e^0 = 1 :
f(x1) = e^-(16)^2 approx 0.9724
Calculamos f(x2) = e^-(26)^2 approx 0 And so on for each (xi) Aplicamos a regra de Simpson: [ integral0^1 e^-x^2 , dx approx h3 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4)) + f(x6) ] para cada 1/63 = 118 :
4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) = 4(0.9724 + 0.7788 + 0.4724) approx 4(2.2236) = 8.8944
2(f(x2) + f(x4)) = 2(0.8187 + 0.6065) approx 2(1.4252) = 2.8504
[
f(x_2) = e{-\left(\frac{2}{6}\right)2} \approx 0. And so on for each f(x0) + f(x6) = 1 + e^-1 approx 1 + 0.3679 = 1.3679 .
Aplicamos a regra de Simpson:
118 times (1.3679 + 8.8944 + 2.8504) approx 118 times 13.1127 approx 0.7285
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

Aproximando a integral usando a regra de Simpson com integral0^1 e^-x^2 , dx approx 0,7285 , obtemos:
Esse valor atende ao critério de erro menor que .

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