Usando a regra de Simpson, calcule a integral
com erro menor que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
usando a regra de Simpson, garantindo que o erro seja menor que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral numérico, especificamente a regra de Simpson, e entender como controlar o erro nessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson. Ela é uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas usando parábolas para estimar a área sob a curva. A fórmula básica da regra de Simpson para
subintervalos (onde
deve ser par) é:
onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar quantos subintervalos (
) usar para garantir que o erro seja menor que
. A fórmula do erro para a regra de Simpson é:
Onde
é o máximo valor absoluto da quarta derivada de
no intervalo
.
Para a função
, calculamos as derivadas até a quarta:
No intervalo
, o valor máximo de
ocorre em
:
Agora, substituindo na fórmula do erro:
Como
precisa ser par, escolhemos
.
Passo 4
Com
, calculamos o tamanho do passo:
Agora, determinamos os pontos
:
Calculamos
para cada
:
[
f(x_2) = e{-\left(\frac{2}{6}\right)2} \approx 0. And so on for each .
f(x_2) = e{-\left(\frac{2}{6}\right)2} \approx 0. And so on for each
Aplicamos a regra de Simpson:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
Aproximando a integral usando a regra de Simpson com
, obtemos:
Esse valor atende ao critério de erro menor que
.