Usando a regra de Simpson, calcule a integral
com erro menor que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral usando a regra de Simpson, garantindo que o erro seja menor que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral numérico, especificamente a regra de Simpson, e entender como controlar o erro nessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson. Ela é uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas usando parábolas para estimar a área sob a curva. A fórmula básica da regra de Simpson para subintervalos (onde deve ser par) é:
í
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar quantos subintervalos ( ) usar para garantir que o erro seja menor que . A fórmula do erro para a regra de Simpson é:
Onde é o máximo valor absoluto da quarta derivada de no intervalo .
Para a função , calculamos as derivadas até a quarta:
No intervalo , o valor máximo de ocorre em :
Agora, substituindo na fórmula do erro:
Como precisa ser par, escolhemos .

Passo 4

Com , calculamos o tamanho do passo:
Agora, determinamos os pontos :
Calculamos para cada :
[
f(x_2) = e{-\left(\frac{2}{6}\right)2} \approx 0. And so on for each .
Aplicamos a regra de Simpson:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

Aproximando a integral usando a regra de Simpson com , obtemos:
Esse valor atende ao critério de erro menor que .

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