Considere o sistema de ponto flutuante normalizado (beta, t, m, M)=(2,5,-4,4)
e) O número 18 pode ser representado nesse sistema? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de ponto flutuante com os parâmetros (beta, t, m, M) = (2,5,-4,4). Isso significa que estamos trabalhando na base 2, com 5 dígitos na mantissa, e os expoentes podem variar de -4 a 4. A tarefa aqui é descobrir se o número 18 pode ser representado nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como números são representados em ponto flutuante e quais são os limites desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a representação de números em ponto flutuante. Em geral, um número é representado como:
pm 1d1d2d3d4d5 times beta^e
onde beta é a base (neste caso, 2), d1 a d5 são os dígitos da mantissa, e e é o expoente que varia de m a M (-4 a 4).

Passo 3

Para saber se o número 18 pode ser representado, precisamos encontrar se existe um expoente e e uma mantissa 1d1d2d3d4d5 que satisfaça a equação:
18 = 1d1d2d3d4d5 times 2^e
Primeiro, vamos descobrir qual o valor máximo que podemos representar nesse sistema.

Passo 4

O maior número ocorre quando a mantissa é a maior possível e o expoente também é o maior. A mantissa máxima com 5 dígitos na base 2 é 1.111112, que é igual a:
1 + 12 + 14 + 18 + 116 + 132 = 1.96875
Multiplicando isso pelo maior expoente, que é 2^4 = 16, temos:
1.96875 times 16 = 31.5
Então, o maior número que podemos representar é aproximadamente 31.5.

Passo 5

Agora, vamos verificar se 18 está dentro do intervalo que podemos representar. Já vimos que o máximo é 31.5, então 18 está dentro desse limite. Mas também precisamos garantir que conseguimos representar exatamente 18 com a mantissa e o expoente disponíveis.

Passo 6

Vamos tentar encontrar um expoente e tal que 2^e seja próximo de 18. Vamos testar e = 4:
2^4 = 16
Agora, para alcançar 18, precisaríamos de uma mantissa:
1816 = 1.125
Em binário, 1.125 é representado como 1.0012. Como temos 5 dígitos na mantissa, podemos representar isso como 1.001002.

Resposta

Sim, o número 18 pode ser representado nesse sistema. Podemos expressá-lo como:
18 = 1.001002 times 2^4
Isso está dentro dos limites do sistema de ponto flutuante dado.

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