Considere o sistema de ponto flutuante normalizado
e) O número 18 pode ser representado nesse sistema? Por quê?
e) O número 18 pode ser representado nesse sistema? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de ponto flutuante com os parâmetros
. Isso significa que estamos trabalhando na base 2, com 5 dígitos na mantissa, e os expoentes podem variar de -4 a 4. A tarefa aqui é descobrir se o número 18 pode ser representado nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como números são representados em ponto flutuante e quais são os limites desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a representação de números em ponto flutuante. Em geral, um número é representado como:
onde
é a base (neste caso, 2),
a
são os dígitos da mantissa, e
é o expoente que varia de
a
(-4 a 4).
Passo 3
Para saber se o número 18 pode ser representado, precisamos encontrar se existe um expoente
e uma mantissa
que satisfaça a equação:
Primeiro, vamos descobrir qual o valor máximo que podemos representar nesse sistema.
Passo 4
O maior número ocorre quando a mantissa é a maior possível e o expoente também é o maior. A mantissa máxima com 5 dígitos na base 2 é
, que é igual a:
Multiplicando isso pelo maior expoente, que é
, temos:
Então, o maior número que podemos representar é aproximadamente 31.5.
Passo 5
Agora, vamos verificar se 18 está dentro do intervalo que podemos representar. Já vimos que o máximo é 31.5, então 18 está dentro desse limite. Mas também precisamos garantir que conseguimos representar exatamente 18 com a mantissa e o expoente disponíveis.
Passo 6
Vamos tentar encontrar um expoente
tal que
seja próximo de 18. Vamos testar
:
Agora, para alcançar 18, precisaríamos de uma mantissa:
Em binário, 1.125 é representado como
. Como temos 5 dígitos na mantissa, podemos representar isso como
.
Resposta
Sim, o número 18 pode ser representado nesse sistema. Podemos expressá-lo como:
Isso está dentro dos limites do sistema de ponto flutuante dado.