Considere o sistema de ponto flutuante normalizado (beta, t, m, M)=(2,5,-4,4)
a) Qual o menor e o maior número, em valor absoluto, que podem ser representados nesse sistema?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com um sistema de ponto flutuante normalizado definido por (beta, t, m, M)=(2,5,-4,4). Isso significa que a base é 2, temos 5 dígitos na mantissa, o expoente mínimo é -4 e o máximo é 4. Precisamos descobrir qual é o menor e o maior número, em valor absoluto, que podemos representar nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o menor número positivo que esse sistema pode representar. Em um sistema de ponto flutuante, o menor número positivo ocorre quando o expoente está no seu valor mínimo ( e = m = -4) e a mantissa está o mais próxima possível de 1 (já que está normalizada).
A fórmula geral para um número em ponto flutuante normalizado é:
N = pm beta^e times (1d1d2d3d4d5)
Aqui, beta = 2, e é o expoente, e d1d2d3d4d5 são os dígitos da mantissa.

Passo 3

Para encontrar o menor número positivo, usamos o expoente mínimo e = -4 e a mantissa com todos os dígitos após o 1 iguais a 0 (para ser o mais próximo de 1 possível):
Nmin = 2^-4 times 1.00002

Passo 4

Vamos calcular isso passo a passo:
  1. 2^-4 = 116 = 0.0625
  2. 1.00002 em decimal é simplesmente 1.
Então:
Nmin = 0.0625 times 1 = 0.0625

Passo 5

Agora, vamos calcular o maior número que o sistema pode representar. Aqui, usamos o expoente máximo e = 4 e a mantissa com todos os dígitos iguais a 1 para maximizar o valor:
Nmax = 2^4 times 1.11112

Passo 6

Primeiro, convertemos a mantissa de binário para decimal:
1.11112 = 1 + 12 + 14 + 18 + 116 = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 1.9375
Agora, multiplicamos pelo fator 2^4:
Nmax = 16 times 1.9375 = 31

Resposta

O menor número representável é 0.0625 e o maior número representável é 31.

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