Considere a tabela:
x 1 3 4 5
f(x) 0 6 24 60
a) Determine o polinômio na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial! A gente tem uma tabela com valores de e , e precisa encontrar dois polinômios que passam por todos esses pontos: um usando a forma de Lagrange e outro usando a forma de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método constrói o polinômio e aplicar passo a passo para chegar nas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos construir o polinômio na forma de Lagrange. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
P(x) = sumi=0^n f(xi) cdot Li(x)
onde Li(x) = prodsubstackj=0 j ne i^n x - xjxi - xj são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:

Passo 3

Temos 4 pontos na tabela: L0(x) = (x - 3)(x - 4)(x - 5)(1 - 3)(1 - 4)(1 - 5) = (x - 3)(x - 4)(x - 5)(-2)(-3)(-4) = -(x - 3)(x - 4)(x - 5)24 , L1(x) = (x - 1)(x - 4)(x - 5)(3 - 1)(3 - 4)(3 - 5) = (x - 1)(x - 4)(x - 5)(2)(-1)(-2) = (x - 1)(x - 4)(x - 5)4 , L2(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(4 - 1)(4 - 3)(4 - 5) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(3)(1)(-1) = -(x - 1)(x - 3)(x - 5)3 , e L3(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(5 - 1)(5 - 3)(5 - 4) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(4)(2)(1) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)8 . Portanto, .
Vamos calcular cada :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de Lagrange substituindo cada P(x) = 0 cdot L0(x) + 6 cdot L1(x) + 24 cdot L2(x) + 60 cdot L3(x) :
P(x) = 6 cdot (x - 1)(x - 4)(x - 5)4 + 24 cdot (-(x - 1)(x - 3)(x - 5)3) + 60 cdot (x - 1)(x - 3)(x - 4)8
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
6 cdot (x - 1)(x - 4)(x - 5)4 = 64(x - 1)(x - 4)(x - 5) = 32(x - 1)(x - 4)(x - 5)
24 cdot (-(x - 1)(x - 3)(x - 5)3) = -8(x - 1)(x - 3)(x - 5)
60 cdot (x - 1)(x - 3)(x - 4)8 = 608(x - 1)(x - 3)(x - 4) = 152(x - 1)(x - 3)(x - 4)

Passo 6

Juntando tudo:
P(x) = 32(x - 1)(x - 4)(x - 5) - 8(x - 1)(x - 3)(x - 5) + 152(x - 1)(x - 3)(x - 4)
Este é o polinômio de Lagrange que passa por todos os pontos da tabela.

Passo 7

Agora, vamos construir o polinômio na forma de Newton. A forma geral é:
P(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x1) + a3(x - x0)(x - x1)(x - x2)
Para encontrar os coeficientes , precisamos calcular as diferenças divididas.

Passo 8

Organizamos os dados em uma tabela para calcular as diferenças divididas:
c|c|c|c|c x & f(x) & De

Passo 9

Os coeficientes são:
a0 = f(x0) = 0
a1 = De
a2 = De
a3 = De

Passo 10

Substituindo na fórmula de Newton:
P(x) = 0 + 3(x - 1) + 5(x - 1)(x - 3) + 1(x - 1)(x - 3)(x - 4)
Simplificando:
P(x) = 3(x - 1) + 5(x - 1)(x - 3) + (x - 1)(x - 3)(x - 4)

Resposta

a) O polinômio de Lagrange é:
P(x) = 32(x - 1)(x - 4)(x - 5) - 8(x - 1)(x - 3)(x - 5) + 152(x - 1)(x - 3)(x - 4)
b) O polinômio de Newton é:
P(x) = 3(x - 1) + 5(x - 1)(x - 3) + (x - 1)(x - 3)(x - 4)

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