Considere a tabela:
x | 1 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 6 | 24 | 60 |
a) Determine o polinômio na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial! A gente tem uma tabela com valores de
e
, e precisa encontrar dois polinômios que passam por todos esses pontos: um usando a forma de Lagrange e outro usando a forma de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método constrói o polinômio e aplicar passo a passo para chegar nas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos construir o polinômio na forma de Lagrange. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde
são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Passo 3
Temos 4 pontos na tabela:
,
,
, e
. Portanto,
.
Vamos calcular cada
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de Lagrange substituindo cada
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Passo 6
Juntando tudo:
Este é o polinômio de Lagrange que passa por todos os pontos da tabela.
Passo 7
Agora, vamos construir o polinômio na forma de Newton. A forma geral é:
Para encontrar os coeficientes
, precisamos calcular as diferenças divididas.
Passo 8
Organizamos os dados em uma tabela para calcular as diferenças divididas:
Passo 9
Os coeficientes são:
Passo 10
Substituindo na fórmula de Newton:
Simplificando:
Resposta
a) O polinômio de Lagrange é:
b) O polinômio de Newton é: