a) Determine o polinômio na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial! A gente tem uma tabela com valores de e , e precisa encontrar dois polinômios que passam por todos esses pontos: um usando a forma de Lagrange e outro usando a forma de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método constrói o polinômio e aplicar passo a passo para chegar nas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos construir o polinômio na forma de Lagrange. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Passo 3
Temos 4 pontos na tabela: , , , e . Portanto, .
Vamos calcular cada :
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de Lagrange substituindo cada :
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Passo 6
Juntando tudo:
Este é o polinômio de Lagrange que passa por todos os pontos da tabela.
Passo 7
Agora, vamos construir o polinômio na forma de Newton. A forma geral é:
Para encontrar os coeficientes , precisamos calcular as diferenças divididas.
Passo 8
Organizamos os dados em uma tabela para calcular as diferenças divididas: