Considere a tabela:
x 1 3 4 5
0 6 24 60
a) Determine o polinômio na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial! A gente tem uma tabela com valores de e , e precisa encontrar dois polinômios que passam por todos esses pontos: um usando a forma de Lagrange e outro usando a forma de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método constrói o polinômio e aplicar passo a passo para chegar nas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos construir o polinômio na forma de Lagrange. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:

Passo 3

Temos 4 pontos na tabela: , , , e . Portanto, .
Vamos calcular cada :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de Lagrange substituindo cada :
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Juntando tudo:
Este é o polinômio de Lagrange que passa por todos os pontos da tabela.

Passo 7

Agora, vamos construir o polinômio na forma de Newton. A forma geral é:
Para encontrar os coeficientes , precisamos calcular as diferenças divididas.

Passo 8

Organizamos os dados em uma tabela para calcular as diferenças divididas:

Passo 9

Os coeficientes são:

Passo 10

Substituindo na fórmula de Newton:
Simplificando:

Resposta

a) O polinômio de Lagrange é:
b) O polinômio de Newton é:

Exercícios relacionados

Considere os sistemas:
a)
b)
Em ambos:
a) Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
b) Se for possível, resolva por Gauss-Seidel
c) Verifique se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
d) Se for possível, resolva por Gauss-Jacobi.
Obs: Para os exercícios do item anterior utilize . Para aproximação inicial utilize à escolha, desde que não seja a solução exata.
Resolva os sistemas não lineares abaixo utilizando os métodos de Newton e Newton-Modificado, .
a) e
b) e
Os resultados da densidade da água em várias temparaturas são apresentados na tabela a seguir:
T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
0,9999 0,9998 0,9997 0,9991 0,9982 0,9971 0,9957 0,9941 0,9902
Calcule:
a) utilizando um polinômio de grau 2 .
b) utilizando um polinômio de grau 3 .
Encontre o polinômio interpolador que interpola os três primeiros pontos, usando a Forma de Lagrange (Separe em duas etapas: i) Cálculo dos operadores, ii) Cálculo do polinômio interpolador).