Considere a tabela x 0.0 0.2 0.3 0.5 0.6
f(x) 1.008 1.064 1.125 1.343 1.512
a) Construa a tabela das diferenças divididas referente os dados acima.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão nos dá uma tabela com valores de e , e pede para construir a tabela das diferenças divididas. Isso faz parte do estudo de métodos numéricos, especificamente na interpolação polinomial usando diferenças divididas de Newton. Para resolver isso, vamos precisar organizar os valores de e e calcular as diferenças divididas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|c|c| hline x & f(x) hline 0.0 & 1.008 0.2 & 1.064 0.3 & 1.125 0.5 & 1.343 0.6 & 1.512 hline

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela das diferenças divididas. A primeira coluna será os valores de , a segunda será . As colunas seguintes representarão as diferenças divididas de ordem superior.

Passo 4

A diferença dividida de primeira ordem é calculada usando a fórmula:
f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi
Vamos calcular essas diferenças para todos os pares de pontos consecutivos.

Passo 5

Calculando as diferenças divididas de primeira ordem:
f[0.0, 0.2] = 1.064 - 1.0080.2 - 0.0 = 0.0560.2 = 0.28
f[0.2, 0.3] = 1.125 - 1.0640.3 - 0.2 = 0.0610.1 = 0.61
f[0.3, 0.5] = 1.343 - 1.1250.5 - 0.3 = 0.2180.2 = 1.09
f[0.5, 0.6] = 1.512 - 1.3430.6 - 0.5 = 0.1690.1 = 1.69

Passo 6

Agora, vamos calcular as diferenças divididas de segunda ordem usando os resultados anteriores:
f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi

Passo 7

Calculando as diferenças divididas de segunda ordem:
f[0.0, 0.2, 0.3] = 0.61 - 0.280.3 - 0.0 = 0.330.3 = 1.10
f[0.2, 0.3, 0.5] = 1.09 - 0.610.5 - 0.2 = 0.480.3 = 1.60
f[0.3, 0.5, 0.6] = 1.69 - 1.090.6 - 0.3 = 0.600.3 = 2.00

Passo 8

Vamos seguir para as diferenças divididas de terceira ordem:
f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] = f[xi+1, xi+2, xi+3] - f[xi, xi+1, xi+2]xi+3 - xi

Passo 9

Calculando as diferenças divididas de terceira ordem:
f[0.0, 0.2, 0.3, 0.5] = 1.60 - 1.100.5 - 0.0 = 0.500.5 = 1.00
f[0.2, 0.3, 0.5, 0.6] = 2.00 - 1.600.6 - 0.2 = 0.400.4 = 1.00

Passo 10

Finalmente, vamos calcular a diferença dividida de quarta ordem:
f[0.0, 0.2, 0.3, 0.5, 0.6] = 1.00 - 1.000.6 - 0.0 = 0.000.6 = 0.00

Resposta

A tabela das diferenças divididas fica assim:
|c|c|c|c|c|c| hline x & f(x) & f[xi, xi+1] & f[xi, xi+1, xi+2] & f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] & f[xi, xi+1, xi+2, xi+3, xi+4] hline 0.0 & 1.008 & 0.28 & 1.10 & 1.00 & 0.00 0.2 & 1.064 & 0.61 & 1.60 & 1.00 & 0.3 & 1.125 & 1.09 & 2.00 & & 0.5 & 1.343 & 1.69 & & & 0.6 & 1.512 & & & & hline

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