Considere a tabela
x 1 2 3
f(x) 1 2.1 3
Existe o polinômio interpolador nos pontos dados de grau 1? Se sim, indique qual é o polinômio. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos analisar a questão que nos pede para verificar se existe um polinômio de grau 1 que passe pelos pontos dados na tabela. Estamos trabalhando com interpolação polinomial, que é o processo de encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos. Para resolver isso, vamos verificar se os pontos estão alinhados e, se estiverem, encontrar a equação desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um polinômio de grau 1. Um polinômio de grau 1 é uma reta, que pode ser representada pela equação:
f(x) = ax + b
onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (ponto onde a reta intercepta o eixo y).

Passo 3

Para verificar se os três pontos dados estão alinhados, vamos calcular a inclinação entre cada par de pontos. Se as inclinações forem iguais, os pontos estão em uma linha reta.
Primeiro, calculamos a inclinação entre os pontos a1 = 2.1 - 12 - 1 = 1.11 = 1.1 e a2 = 3 - 2.13 - 2 = 0.91 = 0.9 :
Depois, calculamos a inclinação entre os pontos e :

Passo 4

Observamos que as inclinações e são diferentes. Isso significa que os três pontos não estão alinhados e, portanto, não existe um polinômio de grau 1 que passe por todos eles.

Resposta

Não, não existe um polinômio interpolador de grau 1 que passe pelos pontos dados na tabela.

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