Considere a tabela
x | 1 | 2 | |
---|---|---|---|
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0,84 | 0,91 | e encontre o polinômio interpolador de grau 1 nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde para calcular o valor aproximado de
|
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar um polinômio interpolador de primeiro grau usando a forma de Vandermonde com os pontos dados na tabela. Depois disso, precisamos usar esse polinômio para aproximar o valor de
e determinar o erro de truncamento. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é interpolação polinomial, como montar e resolver o sistema de Vandermonde, e depois calcular o erro de truncamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio interpolador de primeiro grau é uma reta que passa pelos dois pontos fornecidos. Os pontos dados são
e
. A forma geral de um polinômio de primeiro grau é:
Precisamos encontrar os coeficientes
e
que fazem com que
e
.
Passo 3
Para encontrar
e
, vamos montar o sistema de equações usando os pontos dados:
Agora, subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Agora que temos
, substituímos na primeira equação para encontrar
:
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, o polinômio interpolador fica:
Passo 5
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar
. Substituindo
em
:
Calculando numericamente:
Passo 6
Para determinar o erro de truncamento na interpolação linear, usamos a fórmula do erro para interpolação polinomial de grau
:
Como estamos usando um polinômio de primeiro grau (
), a fórmula fica:
Onde
está entre os pontos
e
. Sem informações adicionais sobre
, não podemos calcular o erro exato, mas podemos afirmar que ele depende da concavidade da função
no intervalo considerado.
Resposta
O polinômio interpolador de primeiro grau é
. Usando esse polinômio, a aproximação de
é aproximadamente 0,88. O erro de truncamento depende da segunda derivada de
no intervalo e está dado por
, onde
está entre 1 e 2.
Exercícios relacionados
Considere a tabela
x | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
|
1 | 2.1 | 3 |
Existe o polinômio interpolador nos pontos dados de grau 1? Se sim, indique qual é o polinômio. Justifique sua resposta.
Considere a tabela
x | 0 | 1 | 2 | 3 | |
---|---|---|---|---|---|
|
1 | 6 | 5 | -8 | e encontre o polinômio interpolador nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde. Justifique sua resposta. |
Considere a tabela | x | 0.0 | 0.2 | 0.3 | 0.5 | 0.6 |
---|---|---|---|---|---|---|
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1.008 | 1.064 | 1.125 | 1.343 | 1.512 |
a) Construa a tabela das diferenças divididas referente os dados acima.
O problema de valor inicial:
a) Verifique a afirmação acima.