Considere a tabela
x 1 2
f(x) 0,84 0,91 e encontre o polinômio interpolador de grau 1 nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde para calcular o valor aproximado de f(pi2). Determine o erro de truncaturamento. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar um polinômio interpolador de primeiro grau usando a forma de Vandermonde com os pontos dados na tabela. Depois disso, precisamos usar esse polinômio para aproximar o valor de e determinar o erro de truncamento. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é interpolação polinomial, como montar e resolver o sistema de Vandermonde, e depois calcular o erro de truncamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio interpolador de primeiro grau é uma reta que passa pelos dois pontos fornecidos. Os pontos dados são P(x) = a x + b e . A forma geral de um polinômio de primeiro grau é:
Precisamos encontrar os coeficientes e que fazem com que e .

Passo 3

Para encontrar a cdot 1 + b = 0,84 a cdot 2 + b = 0,91 e (2a + b) - (a + b) = 0,91 - 0,84 a = 0,07 , vamos montar o sistema de equações usando os pontos dados:
0,07 cdot 1 + b = 0,84 b = 0,84 - 0,07 = 0,77
Agora, subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar :
Agora que temos , substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 4

Com os valores de P(x) = 0,07x + 0,77 e encontrados, o polinômio interpolador fica:

Passo 5

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar P(pi2) = 0,07 cdot pi2 + 0,77 = 0,035pi + 0,77 . Substituindo 0,035pi approx 0,035 cdot 3,1416 approx 0,10996 P(pi2) approx 0,10996 + 0,77 = 0,87996 approx 0,88 em :
Calculando numericamente:

Passo 6

Para determinar o erro de truncamento na interpolação linear, usamos a fórmula do erro para interpolação polinomial de grau E(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n(x - xi) :
E(pi2) = f''(xi)2 (pi2 - 1)(pi2 - 2)
Como estamos usando um polinômio de primeiro grau ( ), a fórmula fica:
Onde está entre os pontos e . Sem informações adicionais sobre , não podemos calcular o erro exato, mas podemos afirmar que ele depende da concavidade da função no intervalo considerado.

Resposta

O polinômio interpolador de primeiro grau é . Usando esse polinômio, a aproximação de é aproximadamente 0,88. O erro de truncamento depende da segunda derivada de no intervalo e está dado por , onde está entre 1 e 2.

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