Considere a tabela
x 1 2
0,84 0,91 e encontre o polinômio interpolador de grau 1 nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde para calcular o valor aproximado de . Determine o erro de truncaturamento. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar um polinômio interpolador de primeiro grau usando a forma de Vandermonde com os pontos dados na tabela. Depois disso, precisamos usar esse polinômio para aproximar o valor de e determinar o erro de truncamento. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é interpolação polinomial, como montar e resolver o sistema de Vandermonde, e depois calcular o erro de truncamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio interpolador de primeiro grau é uma reta que passa pelos dois pontos fornecidos. Os pontos dados são e . A forma geral de um polinômio de primeiro grau é:
Precisamos encontrar os coeficientes e que fazem com que e .

Passo 3

Para encontrar e , vamos montar o sistema de equações usando os pontos dados:
Agora, subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar :
Agora que temos , substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 4

Com os valores de e encontrados, o polinômio interpolador fica:

Passo 5

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar . Substituindo em :
Calculando numericamente:

Passo 6

Para determinar o erro de truncamento na interpolação linear, usamos a fórmula do erro para interpolação polinomial de grau :
Como estamos usando um polinômio de primeiro grau ( ), a fórmula fica:
Onde está entre os pontos e . Sem informações adicionais sobre , não podemos calcular o erro exato, mas podemos afirmar que ele depende da concavidade da função no intervalo considerado.

Resposta

O polinômio interpolador de primeiro grau é . Usando esse polinômio, a aproximação de é aproximadamente 0,88. O erro de truncamento depende da segunda derivada de no intervalo e está dado por , onde está entre 1 e 2.

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Considere a tabela
x 1 2 3
1 2.1 3
Existe o polinômio interpolador nos pontos dados de grau 1? Se sim, indique qual é o polinômio. Justifique sua resposta.
Considere a tabela
x 0 1 2 3
1 6 5 -8 e encontre o polinômio interpolador nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde. Justifique sua resposta.
Considere a tabela x 0.0 0.2 0.3 0.5 0.6
1.008 1.064 1.125 1.343 1.512
a) Construa a tabela das diferenças divididas referente os dados acima.
O problema de valor inicial:
úçã
a) Verifique a afirmação acima.