No processo de fabricação de fibras eletroforéticas, o diâmetro da fibra está relacionado à corrente . Os seguintes dados são medidos durante a produção.
300 300 350 400 400 500 500 650 650
22 26 27 30 34 33 33.5 37 42
A relação entre a corrente elétrica e o diâmetro pode ser modelada na forma . Use os dados da tabela para determinar as constantes e que fazem o melhor ajuste dos dados. Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que relaciona a corrente elétrica (em nanoamperes) com o diâmetro da fibra (em metros) durante a fabricação de fibras eletroforéticas. A nossa missão é descobrir os valores das constantes e na equação que melhor se ajustam aos dados fornecidos. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para encontrar a melhor linha (ou curva) que se encaixa nos dados disponíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
(nA) 300 300 350 400 400 500 500 650 650
(m) 22 26 27 30 34 33 33.5 37 42
Vamos calcular para cada valor de :
300 17.3205
300 17.3205
350 18.7083
400 20.0000
400 20.0000
500 22.3607
500 22.3607
650 25.4951
650 25.4951

Passo 3

Agora, vamos calcular as somas necessárias para aplicar os mínimos quadrados. Precisamos das seguintes somas:
  • : soma dos diâmetros
  • : soma das raízes quadradas da corrente
  • : soma do produto de por
  • : soma dos quadrados de
Vamos calcular cada uma delas:

Passo 4

Agora que temos todas as somas, vamos montar o sistema de equações do método dos mínimos quadrados. A equação geral para o ajuste é:
Para encontrar e , usamos as seguintes equações:
Onde é o número de dados, que no nosso caso é 9.
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, da primeira equação:
Podemos isolar :
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Vamos simplificar:
Calculando os valores:
Então:
Combinando os termos com :
Isolando :

Passo 6

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na equação que encontramos para :

Resposta

As constantes que melhor ajustam os dados são:

Exercícios relacionados

A intensidade de uma frente de radiação é dada pela expressão . Encontre as constantes e usando os seguintes dados:
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74
Trabalhe com 4 casas decimais.
Para medir (a aceleração da gravidade), realiza-se o experimento a seguir. Um bola é solta do topo de um edifício de 30 m de altura. À medida que o objeto vai caindo, sua velocidade vai sendo medida en várias alturas por sensores presos ao edifício. Os dados medidos no experimento são fornecidos na tabela.
(altura) 0 5 10 15 20 25
(velocidade) 0 9.85 14.32 17.63 19.34 22.41
A velocidade da bola em função da distância é dada por . Usando ajuste de curvas via Método dos Mínimos Quadrados, determine o valor experimental de . Trabalhe com 4 casas decimais.
Obs.: O sentido positivo para medida da altura e do topo do edifício para o solo.
Considere os valores funcionais dados na tabela abaixo e determine as seguintes aproximações para :

  • Compare as aproximações usando como parâmetro a soma do quadrado dos resíduos, o qual é dado por:
onde são os valores de da tabela e a função de ajuste obtido pelo Método dos Mínimos Quadrados.
0.5 1.0 2.0 4.0 5.0
15 12 5 2 1
Trabalhe com 4 casas decimais.
Considere a tabela:
3.8 7.0 9.5 11.3 17.5 31.5 45.5 64.0 95.0
10.0 12.5 13.5 14.0 15.0 16.0 16.5 17.0 17.5
Por qual das funções
você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.