No processo de fabricação de fibras eletroforéticas, o diâmetro da fibra d está relacionado à corrente I. Os seguintes dados são medidos durante a produção.
I(n A) 300 300 350 400 400 500 500 650 650
d(m) 22 26 27 30 34 33 33.5 37 42
A relação entre a corrente elétrica e o diâmetro pode ser modelada na forma d=a+b raizI. Use os dados da tabela para determinar as constantes a e b que fazem o melhor ajuste dos dados. Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que relaciona a corrente elétrica (em nanoamperes) com o diâmetro da fibra (em metros) durante a fabricação de fibras eletroforéticas. A nossa missão é descobrir os valores das constantes e na equação que melhor se ajustam aos dados fornecidos. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para encontrar a melhor linha (ou curva) que se encaixa nos dados disponíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
(nA) 300 300 350 400 400 500 500 650 650
(m) 22 26 27 30 34 33 33.5 37 42
Vamos calcular para cada valor de :
300 17.3205
300 17.3205
350 18.7083
400 20.0000
400 20.0000
500 22.3607
500 22.3607
650 25.4951
650 25.4951

Passo 3

Agora, vamos calcular as somas necessárias para aplicar os mínimos quadrados. Precisamos das seguintes somas:
  • sum d &= 22 + 26 + 27 + 30 + 34 + 33 + 33.5 + 37 + 42 = 280.5 sum raizI &= 17.3205 + 17.3205 + 18.7083 + 20.0000 + 20.0000 + 22.3607 + 22.3607 + 25.4951 + 25.4951 = 178.75 sum d raizI &= (22 times 17.3205) + (26 times 17.3205) + (27 times 18.7083) + (30 times 20.0000) & + (34 times 20.0000) + (33 times 22.3607) + (33.5 times 22.3607) & + (37 times 25.4951) + (42 times 25.4951) &= 381.051 + 450.133 + 504.083 + 600.000 + 680.000 + 738.092 + 748.219 + 944.359 + 1070.793 &= 5706.690 sum (raizI)^2 &= (17.3205)^2 + (17.3205)^2 + (18.7083)^2 + (20.0000)^2 + (20.0000)^2 & + (22.3607)^2 + (22.3607)^2 + (25.4951)^2 + (25.4951)^2 &= 300 + 300 + 350 + 400 + 400 + 500 + 500 + 650 + 650 &= 4000 : soma dos diâmetros
  • : soma das raízes quadradas da corrente
  • : soma do produto de por
  • : soma dos quadrados de
Vamos calcular cada uma delas:

Passo 4

Agora que temos todas as somas, vamos montar o sistema de equações do método dos mínimos quadrados. A equação geral para o ajuste é:
d = a + b raizI
Para encontrar n a + b sum raizI = sum d a sum raizI + b sum (raizI)^2 = sum d raizI e 9a + 178.75b = 280.5 178.75a + 4000b = 5706.690 , usamos as seguintes equações:
Onde é o número de dados, que no nosso caso é 9.
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 9a + 178.75b = 280.5 e a = 280.5 - 178.75b9 .
Primeiro, da primeira equação:
178.75 ( 280.5 - 178.75b9 ) + 4000b = 5706.690
Podemos isolar 178.75 times 280.59 - 178.75^2 b9 + 4000b = 5706.690 :
178.75 times 280.59 approx 5564.5833 178.75^29 approx 3545.1389
Agora, substituímos esse valor de 5564.5833 - 3545.1389b + 4000b = 5706.690 na segunda equação:
5564.5833 + 4554.8611b = 5706.690
Vamos simplificar:
4554.8611b = 5706.690 - 5564.5833 4554.8611b = 142.1067 b = 142.10674554.8611 approx 0.0312
Calculando os valores:
Então:
Combinando os termos com :
Isolando :

Passo 6

Agora que encontramos a = 280.5 - 178.75b9 a = 280.5 - 178.75 times 0.03129 a = 280.5 - 5.58849 a = 274.91169 a approx 30.5457 , vamos substituir esse valor na equação que encontramos para :

Resposta

As constantes que melhor ajustam os dados são:
a approx 30.5457 e b approx 0.0312

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