No processo de fabricação de fibras eletroforéticas, o diâmetro da fibra
está relacionado à corrente
. Os seguintes dados são medidos durante a produção.
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300 | 300 | 350 | 400 | 400 | 500 | 500 | 650 | 650 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
22 | 26 | 27 | 30 | 34 | 33 | 33.5 | 37 | 42 |
A relação entre a corrente elétrica e o diâmetro pode ser modelada na forma
. Use os dados da tabela para determinar as constantes
e
que fazem o melhor ajuste dos dados. Trabalhe com 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que relaciona a corrente elétrica
(em nanoamperes) com o diâmetro da fibra
(em metros) durante a fabricação de fibras eletroforéticas. A nossa missão é descobrir os valores das constantes
e
na equação
que melhor se ajustam aos dados fornecidos. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para encontrar a melhor linha (ou curva) que se encaixa nos dados disponíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
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300 | 300 | 350 | 400 | 400 | 500 | 500 | 650 | 650 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
22 | 26 | 27 | 30 | 34 | 33 | 33.5 | 37 | 42 |
Vamos calcular
para cada valor de
:
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---|---|
300 | 17.3205 |
300 | 17.3205 |
350 | 18.7083 |
400 | 20.0000 |
400 | 20.0000 |
500 | 22.3607 |
500 | 22.3607 |
650 | 25.4951 |
650 | 25.4951 |
Passo 3
Agora, vamos calcular as somas necessárias para aplicar os mínimos quadrados. Precisamos das seguintes somas:
-
: soma dos diâmetros -
: soma das raízes quadradas da corrente -
: soma do produto de por -
: soma dos quadrados de
Vamos calcular cada uma delas:
Passo 4
Agora que temos todas as somas, vamos montar o sistema de equações do método dos mínimos quadrados. A equação geral para o ajuste é:
Para encontrar
e
, usamos as seguintes equações:
Onde
é o número de dados, que no nosso caso é 9.
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, da primeira equação:
Podemos isolar
:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Vamos simplificar:
Calculando os valores:
Então:
Combinando os termos com
:
Isolando
:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na equação que encontramos para
:
Resposta
As constantes que melhor ajustam os dados são: