No processo de fabricação de fibras eletroforéticas, o diâmetro da fibra
está relacionado à corrente
. Os seguintes dados são medidos durante a produção.
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300 | 300 | 350 | 400 | 400 | 500 | 500 | 650 | 650 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
22 | 26 | 27 | 30 | 34 | 33 | 33.5 | 37 | 42 |
A relação entre a corrente elétrica e o diâmetro pode ser modelada na forma
. Use os dados da tabela para determinar as constantes
e
que fazem o melhor ajuste dos dados. Trabalhe com 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que relaciona a corrente elétrica
(em nanoamperes) com o diâmetro da fibra
(em metros) durante a fabricação de fibras eletroforéticas. A nossa missão é descobrir os valores das constantes
e
na equação
que melhor se ajustam aos dados fornecidos. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para encontrar a melhor linha (ou curva) que se encaixa nos dados disponíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
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300 | 300 | 350 | 400 | 400 | 500 | 500 | 650 | 650 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
22 | 26 | 27 | 30 | 34 | 33 | 33.5 | 37 | 42 |
Vamos calcular
para cada valor de
:
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|
---|---|
300 | 17.3205 |
300 | 17.3205 |
350 | 18.7083 |
400 | 20.0000 |
400 | 20.0000 |
500 | 22.3607 |
500 | 22.3607 |
650 | 25.4951 |
650 | 25.4951 |
Passo 3
Agora, vamos calcular as somas necessárias para aplicar os mínimos quadrados. Precisamos das seguintes somas:
-
: soma dos diâmetros -
: soma das raízes quadradas da corrente -
: soma do produto de por -
: soma dos quadrados de
Vamos calcular cada uma delas:
Passo 4
Agora que temos todas as somas, vamos montar o sistema de equações do método dos mínimos quadrados. A equação geral para o ajuste é:
Para encontrar
e
, usamos as seguintes equações:
Onde
é o número de dados, que no nosso caso é 9.
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, da primeira equação:
Podemos isolar
:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Vamos simplificar:
Calculando os valores:
Então:
Combinando os termos com
:
Isolando
:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na equação que encontramos para
:
Resposta
As constantes que melhor ajustam os dados são:
Exercícios relacionados
A intensidade de uma frente de radiação é dada pela expressão
. Encontre as constantes
e
usando os seguintes dados:
|
0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
3.16 | 2.38 | 1.75 | 1.34 | 1.00 | 0.74 |
Trabalhe com 4 casas decimais.
Para medir
(a aceleração da gravidade), realiza-se o experimento a seguir. Um bola é solta do topo de um edifício de 30 m de altura. À medida que o objeto vai caindo, sua velocidade
vai sendo medida en várias alturas por sensores presos ao edifício. Os dados medidos no experimento são fornecidos na tabela.
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|
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0 | 9.85 | 14.32 | 17.63 | 19.34 | 22.41 |
A velocidade
da bola em função da distância
é dada por
. Usando ajuste de curvas via Método dos Mínimos Quadrados, determine o valor experimental de
. Trabalhe com 4 casas decimais.
Obs.: O sentido positivo para medida da altura e do topo do edifício para o solo.
Obs.: O sentido positivo para medida da altura e do topo do edifício para o solo.
Considere os valores funcionais dados na tabela abaixo e determine as seguintes aproximações para
:
-
-
-
Compare as aproximações usando como parâmetro a soma do quadrado dos resíduos, o qual é dado por:
onde
são os valores de
da tabela e
a função de ajuste obtido pelo Método dos Mínimos Quadrados.
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0.5 | 1.0 | 2.0 | 4.0 | 5.0 |
---|---|---|---|---|---|
|
15 | 12 | 5 | 2 | 1 |
Trabalhe com 4 casas decimais.
Considere a tabela:
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3.8 | 7.0 | 9.5 | 11.3 | 17.5 | 31.5 | 45.5 | 64.0 | 95.0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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10.0 | 12.5 | 13.5 | 14.0 | 15.0 | 16.0 | 16.5 | 17.0 | 17.5 |
Por qual das funções
você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.