Considere os valores funcionais dados na tabela abaixo e determine as seguintes aproximações para
:
-
-
-
Compare as aproximações usando como parâmetro a soma do quadrado dos resíduos, o qual é dado por:
onde
são os valores de
da tabela e
a função de ajuste obtido pelo Método dos Mínimos Quadrados.
Compare as aproximações usando como parâmetro a soma do quadrado dos resíduos, o qual é dado por:
|
0.5 | 1.0 | 2.0 | 4.0 | 5.0 |
---|---|---|---|---|---|
|
15 | 12 | 5 | 2 | 1 |
Trabalhe com 4 casas decimais.
Passo 1
Então, a gente tem uma tabela com alguns valores de
para diferentes
, e precisa encontrar três tipos de funções que se aproximem desses dados. A gente vai usar o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar cada função aos dados e calcular a soma dos quadrados dos resíduos (
), que nos diz o quão boa é a aproximação. As funções que vamos ajustar são:
-
-
-
Vamos trabalhar com 4 casas decimais para os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar a função
aos dados usando o Método dos Mínimos Quadrados. Isso significa que vamos encontrar os valores de
,
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função.
Para isso, montamos um sistema de equações baseado nos valores de
e
dados na tabela, e resolvemos para
,
e
.
Passo 3
Depois, ajustamos a função
aos mesmos dados. Novamente, usamos o Método dos Mínimos Quadrados para encontrar os melhores valores de
e
que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.
Passo 4
Agora, vamos ajustar a função exponencial
aos dados. Esse ajuste também é feito usando o Método dos Mínimos Quadrados, onde buscamos os valores de
e
que fazem com que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função exponencial seja a menor possível.
Passo 5
Com os parâmetros de cada função ajustada (
,
,
para a primeira função;
,
para a segunda; e
,
para a terceira), calculamos a soma dos quadrados dos resíduos (
) para cada uma delas usando a fórmula:
Isso nos dá uma medida de quão bem cada função se ajusta aos dados. Quanto menor o valor de
, melhor a aproximação.
Passo 6
Finalmente, comparamos os valores de
obtidos para cada uma das três funções. A função com o menor valor de
é a que melhor se aproxima dos dados fornecidos na tabela.
Resposta
Após ajustar as três funções aos dados e calcular a soma dos quadrados dos resíduos, concluímos que a função
apresenta o menor valor de
, indicando que é a aproximação mais adequada para os valores dados na tabela.
Exercícios relacionados
No processo de fabricação de fibras eletroforéticas, o diâmetro da fibra
está relacionado à corrente
. Os seguintes dados são medidos durante a produção.
|
300 | 300 | 350 | 400 | 400 | 500 | 500 | 650 | 650 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
22 | 26 | 27 | 30 | 34 | 33 | 33.5 | 37 | 42 |
A relação entre a corrente elétrica e o diâmetro pode ser modelada na forma
. Use os dados da tabela para determinar as constantes
e
que fazem o melhor ajuste dos dados. Trabalhe com 4 casas decimais.
A intensidade de uma frente de radiação é dada pela expressão
. Encontre as constantes
e
usando os seguintes dados:
|
0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
3.16 | 2.38 | 1.75 | 1.34 | 1.00 | 0.74 |
Trabalhe com 4 casas decimais.
Considere a tabela:
|
3.8 | 7.0 | 9.5 | 11.3 | 17.5 | 31.5 | 45.5 | 64.0 | 95.0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
10.0 | 12.5 | 13.5 | 14.0 | 15.0 | 16.0 | 16.5 | 17.0 | 17.5 |
Por qual das funções
você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.
Considere a tabela:
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
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-4 | -1 | 1 | 0 | 2 |
Ajuste os dados dessa tabela por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3. Calcule os resíduos para cada ajuste. Trabalhe com 3 casas.