Considere os valores funcionais dados na tabela abaixo e determine as seguintes aproximações para f :
  • f(x)=a+b x+c x^2
  • f(x)=c1+c2x
  • f(x)=alpha e^-beta x
    Compare as aproximações usando como parâmetro a soma do quadrado dos resíduos, o qual é dado por:
r=sumk=0^n p[ft a b(xk)-f(xk)]^2
onde ft a b são os valores de f da tabela e f a função de ajuste obtido pelo Método dos Mínimos Quadrados.
x 0.5 1.0 2.0 4.0 5.0
f(x) 15 12 5 2 1
Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Então, a gente tem uma tabela com alguns valores de para diferentes , e precisa encontrar três tipos de funções que se aproximem desses dados. A gente vai usar o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar cada função aos dados e calcular a soma dos quadrados dos resíduos ( ), que nos diz o quão boa é a aproximação. As funções que vamos ajustar são:

  1. Vamos trabalhar com 4 casas decimais para os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar a função aos dados usando o Método dos Mínimos Quadrados. Isso significa que vamos encontrar os valores de , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função.
Para isso, montamos um sistema de equações baseado nos valores de e dados na tabela, e resolvemos para , e .

Passo 3

Depois, ajustamos a função aos mesmos dados. Novamente, usamos o Método dos Mínimos Quadrados para encontrar os melhores valores de e que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.

Passo 4

Agora, vamos ajustar a função exponencial aos dados. Esse ajuste também é feito usando o Método dos Mínimos Quadrados, onde buscamos os valores de e que fazem com que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função exponencial seja a menor possível.

Passo 5

Com os parâmetros de cada função ajustada ( r = sumk=0^n [ftab(xk) - f(xk)]^2 , , para a primeira função; , para a segunda; e , para a terceira), calculamos a soma dos quadrados dos resíduos ( ) para cada uma delas usando a fórmula:
Isso nos dá uma medida de quão bem cada função se ajusta aos dados. Quanto menor o valor de , melhor a aproximação.

Passo 6

Finalmente, comparamos os valores de obtidos para cada uma das três funções. A função com o menor valor de é a que melhor se aproxima dos dados fornecidos na tabela.

Resposta

Após ajustar as três funções aos dados e calcular a soma dos quadrados dos resíduos, concluímos que a função apresenta o menor valor de , indicando que é a aproximação mais adequada para os valores dados na tabela.

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