Considere os valores funcionais dados na tabela abaixo e determine as seguintes aproximações para :

  • Compare as aproximações usando como parâmetro a soma do quadrado dos resíduos, o qual é dado por:
onde são os valores de da tabela e a função de ajuste obtido pelo Método dos Mínimos Quadrados.
0.5 1.0 2.0 4.0 5.0
15 12 5 2 1
Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Então, a gente tem uma tabela com alguns valores de para diferentes , e precisa encontrar três tipos de funções que se aproximem desses dados. A gente vai usar o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar cada função aos dados e calcular a soma dos quadrados dos resíduos ( ), que nos diz o quão boa é a aproximação. As funções que vamos ajustar são:

  1. Vamos trabalhar com 4 casas decimais para os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar a função aos dados usando o Método dos Mínimos Quadrados. Isso significa que vamos encontrar os valores de , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função.
Para isso, montamos um sistema de equações baseado nos valores de e dados na tabela, e resolvemos para , e .

Passo 3

Depois, ajustamos a função aos mesmos dados. Novamente, usamos o Método dos Mínimos Quadrados para encontrar os melhores valores de e que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.

Passo 4

Agora, vamos ajustar a função exponencial aos dados. Esse ajuste também é feito usando o Método dos Mínimos Quadrados, onde buscamos os valores de e que fazem com que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função exponencial seja a menor possível.

Passo 5

Com os parâmetros de cada função ajustada ( , , para a primeira função; , para a segunda; e , para a terceira), calculamos a soma dos quadrados dos resíduos ( ) para cada uma delas usando a fórmula:
Isso nos dá uma medida de quão bem cada função se ajusta aos dados. Quanto menor o valor de , melhor a aproximação.

Passo 6

Finalmente, comparamos os valores de obtidos para cada uma das três funções. A função com o menor valor de é a que melhor se aproxima dos dados fornecidos na tabela.

Resposta

Após ajustar as três funções aos dados e calcular a soma dos quadrados dos resíduos, concluímos que a função apresenta o menor valor de , indicando que é a aproximação mais adequada para os valores dados na tabela.

Exercícios relacionados

No processo de fabricação de fibras eletroforéticas, o diâmetro da fibra está relacionado à corrente . Os seguintes dados são medidos durante a produção.
300 300 350 400 400 500 500 650 650
22 26 27 30 34 33 33.5 37 42
A relação entre a corrente elétrica e o diâmetro pode ser modelada na forma . Use os dados da tabela para determinar as constantes e que fazem o melhor ajuste dos dados. Trabalhe com 4 casas decimais.
A intensidade de uma frente de radiação é dada pela expressão . Encontre as constantes e usando os seguintes dados:
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74
Trabalhe com 4 casas decimais.
Considere a tabela:
3.8 7.0 9.5 11.3 17.5 31.5 45.5 64.0 95.0
10.0 12.5 13.5 14.0 15.0 16.0 16.5 17.0 17.5
Por qual das funções
você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.
Considere a tabela:
-2 -1 0 1 2
-4 -1 1 0 2
Ajuste os dados dessa tabela por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3. Calcule os resíduos para cada ajuste. Trabalhe com 3 casas.