Considere os valores funcionais dados na tabela abaixo e determine as seguintes aproximações para
:
-
-
-
Compare as aproximações usando como parâmetro a soma do quadrado dos resíduos, o qual é dado por:
onde
são os valores de
da tabela e
a função de ajuste obtido pelo Método dos Mínimos Quadrados.
Compare as aproximações usando como parâmetro a soma do quadrado dos resíduos, o qual é dado por:
|
0.5 | 1.0 | 2.0 | 4.0 | 5.0 |
---|---|---|---|---|---|
|
15 | 12 | 5 | 2 | 1 |
Trabalhe com 4 casas decimais.
Passo 1
Então, a gente tem uma tabela com alguns valores de
para diferentes
, e precisa encontrar três tipos de funções que se aproximem desses dados. A gente vai usar o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar cada função aos dados e calcular a soma dos quadrados dos resíduos (
), que nos diz o quão boa é a aproximação. As funções que vamos ajustar são:
-
-
-
Vamos trabalhar com 4 casas decimais para os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar a função
aos dados usando o Método dos Mínimos Quadrados. Isso significa que vamos encontrar os valores de
,
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função.
Para isso, montamos um sistema de equações baseado nos valores de
e
dados na tabela, e resolvemos para
,
e
.
Passo 3
Depois, ajustamos a função
aos mesmos dados. Novamente, usamos o Método dos Mínimos Quadrados para encontrar os melhores valores de
e
que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.
Passo 4
Agora, vamos ajustar a função exponencial
aos dados. Esse ajuste também é feito usando o Método dos Mínimos Quadrados, onde buscamos os valores de
e
que fazem com que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função exponencial seja a menor possível.
Passo 5
Com os parâmetros de cada função ajustada (
,
,
para a primeira função;
,
para a segunda; e
,
para a terceira), calculamos a soma dos quadrados dos resíduos (
) para cada uma delas usando a fórmula:
Isso nos dá uma medida de quão bem cada função se ajusta aos dados. Quanto menor o valor de
, melhor a aproximação.
Passo 6
Finalmente, comparamos os valores de
obtidos para cada uma das três funções. A função com o menor valor de
é a que melhor se aproxima dos dados fornecidos na tabela.
Resposta
Após ajustar as três funções aos dados e calcular a soma dos quadrados dos resíduos, concluímos que a função
apresenta o menor valor de
, indicando que é a aproximação mais adequada para os valores dados na tabela.