Considere a tabela
x 0 1 2 3
1 6 5 -8 e encontre o polinômio interpolador nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial usando a forma de Vandermonde. O que isso significa? Basicamente, a gente tem alguns pontos (x, f(x)) e queremos achar um polinômio que passe exatamente por todos esses pontos. Para isso, vamos montar uma tabela chamada matriz de Vandermonde, que nos ajuda a encontrar os coeficientes desse polinômio. No nosso caso, os pontos são:
x 0 1 2 3
f(x) 1 6 5 -8

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de Vandermonde. Essa matriz é construída usando os valores de x elevados a diferentes potências, de 0 até n, onde n é o grau do polinômio. Como temos 4 pontos, vamos precisar de um polinômio de grau 3 (pois o grau é sempre um a menos que o número de pontos). Então, a matriz fica assim:
Substituindo os valores de x que temos (0, 1, 2, 3):

[


]

Passo 3

Agora, vamos montar o vetor dos valores de f(x):

[


]
A ideia é resolver o sistema de equações que emerge da matriz de Vandermonde para encontrar os coeficientes a, b, c, d do polinômio:
Então, temos o sistema:
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
  1. Da primeira equação, já sabemos que a = 1.
  2. Substituindo a na segunda equação:
    çã
  3. Substituindo a na terceira equação:
    çã
  4. Substituindo a na quarta equação:
    çã
Agora, temos um sistema menor com as Equações II, III e IV:
Vamos resolver esse sistema:
  • Subtraindo (II) de (III):
  • Subtraindo (III) de (IV):
Agora, temos:
  • Subtraindo (V) de (VI):
  • Encontrando c usando (V):
  • Encontrando b usando (II):

Resposta

O polinômio interpolador é:

Exercícios relacionados

A equação de estado de Redlich-Kwong é dada por:
onde é a constante universal dos gases , T é a temperatura absoluta ( K ), p é a pressão absoluta ( kPa ) e v é o volume de um kg de gás ( ). Os parâmetros a e b são calculados por:
onde pc é a pressão crítica ( kPa ) e Tc é a temperatura crítica ( K ).
Como engenheiro químico, foi-Ihe pedido para determinar a quantidade de gás metano (pc = 4580 kPa e Tc = 191 K ) que pode ser mantido em um tanque de a uma temperatura de - 50 com uma pressão de 65,000 kPa. Qual a massa de metano que pode ser armazenada nessas condições?
O valor de pode ser obtido pela resolução das equações e . Utilize o método da bisseç̧ão (com uma precisão adequada) para aproximar os valores de com relação a solução de cada equação. Caso não seja possível, justifique a falha do método com argumentos do cálculo.
Considere a tabela
x 1 2 3
1 2.1 3
Existe o polinômio interpolador nos pontos dados de grau 1? Se sim, indique qual é o polinômio. Justifique sua resposta.
Considere a tabela
x 1 2
0,84 0,91 e encontre o polinômio interpolador de grau 1 nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde para calcular o valor aproximado de . Determine o erro de truncaturamento. Justifique sua resposta.