Considere a tabela
x 0 1 2 3
f(x) 1 6 5 -8 e encontre o polinômio interpolador nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial usando a forma de Vandermonde. O que isso significa? Basicamente, a gente tem alguns pontos (x, f(x)) e queremos achar um polinômio que passe exatamente por todos esses pontos. Para isso, vamos montar uma tabela chamada matriz de Vandermonde, que nos ajuda a encontrar os coeficientes desse polinômio. No nosso caso, os pontos são:
x 0 1 2 3
f(x) 1 6 5 -8

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de Vandermonde. Essa matriz é construída usando os valores de x elevados a diferentes potências, de 0 até n, onde n é o grau do polinômio. Como temos 4 pontos, vamos precisar de um polinômio de grau 3 (pois o grau é sempre um a menos que o número de pontos). Então, a matriz fica assim:
1 & x0 & x0^2 & x0^3 1 & x1 & x1^2 & x1^3 1 & x2 & x2^2 & x2^3 1 & x3 & x3^2 & x3^3
Substituindo os valores de x que temos (0, 1, 2, 3):

[
1 & 0 & 0^2 & 0^3 1 & 1 & 1^2 & 1^3 1 & 2 & 2^2 & 2^3 1 & 3 & 3^2 & 3^3 = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 & 8 1 & 3 & 9 & 27


]

Passo 3

Agora, vamos montar o vetor dos valores de f(x):

[
f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) = 1 6 5 -8

P(x) = a + b x + c x^2 + d x^3
]
A ideia é resolver o sistema de equações que emerge da matriz de Vandermonde para encontrar os coeficientes a, b, c, d do polinômio:
a + b cdot 0 + c cdot 0^2 + d cdot 0^3 = 1 a + b cdot 1 + c cdot 1^2 + d cdot 1^3 = 6 a + b cdot 2 + c cdot 2^2 + d cdot 2^3 = 5 a + b cdot 3 + c cdot 3^2 + d cdot 3^3 = -8
Então, temos o sistema:
a = 1 a + b + c + d = 6 a + 2b + 4c + 8d = 5 a + 3b + 9c + 27d = -8
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
  1. Da primeira equação, já sabemos que a = 1.
  2. Substituindo a na segunda equação:
    1 + b + c + d = 6 Rightarrow b + c + d = 5 (Equação , II) çã
  3. Substituindo a na terceira equação:
    1 + 2b + 4c + 8d = 5 Rightarrow 2b + 4c + 8d = 4 Rightarrow b + 2c + 4d = 2 (Equação , III) çã
  4. Substituindo a na quarta equação:
    1 + 3b + 9c + 27d = -8 Rightarrow 3b + 9c + 27d = -9 Rightarrow b + 3c + 9d = -3 (Equação , IV) çã
Agora, temos um sistema menor com as Equações II, III e IV:
b + c + d = 5 (II) b + 2c + 4d = 2 (III) b + 3c + 9d = -3 (IV)
Vamos resolver esse sistema:
  • Subtraindo (II) de (III):
    (b + 2c + 4d) - (b + c + d) = 2 - 5 Rightarrow c + 3d = -3 (V)
  • Subtraindo (III) de (IV):
    (b + 3c + 9d) - (b + 2c + 4d) = -3 - 2 Rightarrow c + 5d = -5 (VI)
Agora, temos:
c + 3d = -3 (V) c + 5d = -5 (VI)
  • Subtraindo (V) de (VI):
    (c + 5d) - (c + 3d) = -5 - (-3) Rightarrow 2d = -2 Rightarrow d = -1
  • Encontrando c usando (V):
    c + 3(-1) = -3 Rightarrow c - 3 = -3 Rightarrow c = 0
  • Encontrando b usando (II):
    b + 0 + (-1) = 5 Rightarrow b - 1 = 5 Rightarrow b = 6

Resposta

O polinômio interpolador é:
P(x) = 1 + 6x - x^3

Exercícios relacionados