e encontre o polinômio interpolador nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial usando a forma de Vandermonde. O que isso significa? Basicamente, a gente tem alguns pontos (x, f(x)) e queremos achar um polinômio que passe exatamente por todos esses pontos. Para isso, vamos montar uma tabela chamada matriz de Vandermonde, que nos ajuda a encontrar os coeficientes desse polinômio. No nosso caso, os pontos são:
x
0
1
2
3
f(x)
1
6
5
-8
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de Vandermonde. Essa matriz é construída usando os valores de x elevados a diferentes potências, de 0 até n, onde n é o grau do polinômio. Como temos 4 pontos, vamos precisar de um polinômio de grau 3 (pois o grau é sempre um a menos que o número de pontos). Então, a matriz fica assim:
Substituindo os valores de x que temos (0, 1, 2, 3):
A ideia é resolver o sistema de equações que emerge da matriz de Vandermonde para encontrar os coeficientes a, b, c, d do polinômio:
a + b cdot 0 + c cdot 0^2 + d cdot 0^3 = 1 a + b cdot 1 + c cdot 1^2 + d cdot 1^3 = 6 a + b cdot 2 + c cdot 2^2 + d cdot 2^3 = 5 a + b cdot 3 + c cdot 3^2 + d cdot 3^3 = -8
Então, temos o sistema:
a = 1 a + b + c + d = 6 a + 2b + 4c + 8d = 5 a + 3b + 9c + 27d = -8
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação, já sabemos que a = 1.
Substituindo a na segunda equação:
1 + b + c + d = 6 Rightarrow b + c + d = 5 (Equação , II) çã