e encontre o polinômio interpolador nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial usando a forma de Vandermonde. O que isso significa? Basicamente, a gente tem alguns pontos (x, f(x)) e queremos achar um polinômio que passe exatamente por todos esses pontos. Para isso, vamos montar uma tabela chamada matriz de Vandermonde, que nos ajuda a encontrar os coeficientes desse polinômio. No nosso caso, os pontos são:
x
0
1
2
3
f(x)
1
6
5
-8
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de Vandermonde. Essa matriz é construída usando os valores de x elevados a diferentes potências, de 0 até n, onde n é o grau do polinômio. Como temos 4 pontos, vamos precisar de um polinômio de grau 3 (pois o grau é sempre um a menos que o número de pontos). Então, a matriz fica assim:
Substituindo os valores de x que temos (0, 1, 2, 3):
[
]
Passo 3
Agora, vamos montar o vetor dos valores de f(x):
[
]
A ideia é resolver o sistema de equações que emerge da matriz de Vandermonde para encontrar os coeficientes a, b, c, d do polinômio:
Então, temos o sistema:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação, já sabemos que a = 1.
Substituindo a na segunda equação:
çã
Substituindo a na terceira equação:
çã
Substituindo a na quarta equação:
çã
Agora, temos um sistema menor com as Equações II, III e IV: