A equação de estado de Redlich-Kwong é dada por:
onde
é a constante universal dos gases
, T é a temperatura absoluta ( K ), p é a pressão absoluta ( kPa ) e v é o volume de um kg de gás (
). Os parâmetros a e b são calculados por:
onde pc é a pressão crítica ( kPa ) e Tc é a temperatura crítica ( K ).
Como engenheiro químico, foi-Ihe pedido para determinar a quantidade de gás metano (pc = 4580 kPa e Tc = 191 K ) que pode ser mantido em um tanque de
a uma temperatura de - 50
com uma pressão de 65,000 kPa. Qual a massa de metano que pode ser armazenada nessas condições?
Como engenheiro químico, foi-Ihe pedido para determinar a quantidade de gás metano (pc = 4580 kPa e Tc = 191 K ) que pode ser mantido em um tanque de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir quantos quilos de metano podemos guardar em um tanque de 3 metros cúbicos, mantendo uma pressão de 65.000 kPa e uma temperatura de -50 °C. Para isso, vamos usar a Equação de Estado de Redlich-Kwong, que nos ajuda a relacionar pressão, volume, temperatura e quantidade de gás. Precisamos calcular os parâmetros a e b dessa equação usando as condições críticas do metano e, depois, encontrar a massa desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a temperatura de -50 °C para Kelvin, já que as equações de gás geralmente usam essa escala.
Passo 3
Agora, vamos calcular os parâmetros a e b usando as fórmulas fornecidas:
Onde:
Vamos calcular cada um deles.
Passo 4
Calculando a:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos na fórmula de a:
Calculando
:
Passo 5
Calculando b:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 6
Agora que temos a e b, vamos usar a Equação de Redlich-Kwong para encontrar o volume específico
:
Precisamos resolver para
. Essa equação pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos simplificar assumindo que
é muito pequeno comparado a
, o que é uma boa aproximação em muitas situações. Assim, podemos reescrever:
Vamos rearranjar para resolver
:
Isso resulta em uma equação quadrática em termos de
:
Passo 7
Vamos identificar os coeficientes da equação quadrática
:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Vamos calcular o discriminante
:
Como o discriminante é negativo, isso indica que nossa aproximação simplificada não funciona bem. Portanto, precisamos resolver a equação original numericamente ou utilizar métodos iterativos.
Passo 8
Como resolver numericamente pode ser complexo sem ferramentas, vamos tentar uma aproximação. Sabemos que:
Onde
e
é a massa que queremos encontrar. Vamos tentar valores iterativamente para
até que a pressão calculada pela equação de Redlich-Kwong se aproxime de 65.000 kPa.
Vamos começar assumindo uma massa
e ajustar conforme necessário. Por exemplo, se
:
Vamos calcular a pressão com esse
:
Isso é muito menor que 65.000 kPa. Então, precisamos aumentar a massa
para diminuir
.
Passo 9
Vamos tentar
:
Calculando a pressão:
Ainda muito baixo. Parece que precisamos reduzir ainda mais
, ou seja, aumentar mais a massa.
Passo 10
Vamos tentar
:
Calculando a pressão:
Ainda bem baixo. Parece que a nossa aproximação simplificada não está ajudando. Vamos precisar adotar uma abordagem melhor ou considerar que a massa armazenada será muito pequena para atingir a pressão desejada com o volume disponível.
Passo 11
Na verdade, percebemos que conforme aumentamos a massa, o volume específico
diminui, o que aumenta a pressão. Porém, mesmo com massas muito pequenas, a pressão não está chegando perto dos 65.000 kPa. Isso sugere que, com as condições dadas, não é possível armazenar metano no tanque para atingir essa pressão usando a equação de Redlich-Kwong nas aproximações feitas.
Resposta
Com as condições fornecidas e usando a Equação de Redlich-Kwong, não é possível armazenar uma quantidade finita de metano no tanque de 3 m³ que atinja a pressão de 65.000 kPa. As aproximações indicam que a massa necessária seria extremamente pequena ou inexistente dentro das condições estabelecidas.
Exercícios relacionados
O valor de
pode ser obtido pela resolução das equações
e
. Utilize o método da bisseç̧ão (com uma precisão adequada) para aproximar os valores de
com relação a solução de cada equação. Caso não seja possível, justifique a falha do método com argumentos do cálculo.
Integrar, analiticamente, o polinômio obtido no item (a) no intervalo de
.
Considere a tabela
x | 0 | 1 | 2 | 3 | |
---|---|---|---|---|---|
|
1 | 6 | 5 | -8 | e encontre o polinômio interpolador nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde. Justifique sua resposta. |
Considere a tabela
x | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
|
1 | 2.1 | 3 |
Existe o polinômio interpolador nos pontos dados de grau 1? Se sim, indique qual é o polinômio. Justifique sua resposta.