A equação de estado de Redlich-Kwong é dada por:
onde é a constante universal dos gases , T é a temperatura absoluta ( K ), p é a pressão absoluta ( kPa ) e v é o volume de um kg de gás ( ). Os parâmetros a e b são calculados por:
onde pc é a pressão crítica ( kPa ) e Tc é a temperatura crítica ( K ).
Como engenheiro químico, foi-Ihe pedido para determinar a quantidade de gás metano (pc = 4580 kPa e Tc = 191 K ) que pode ser mantido em um tanque de a uma temperatura de - 50 com uma pressão de 65,000 kPa. Qual a massa de metano que pode ser armazenada nessas condições?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir quantos quilos de metano podemos guardar em um tanque de 3 metros cúbicos, mantendo uma pressão de 65.000 kPa e uma temperatura de -50 °C. Para isso, vamos usar a Equação de Estado de Redlich-Kwong, que nos ajuda a relacionar pressão, volume, temperatura e quantidade de gás. Precisamos calcular os parâmetros a e b dessa equação usando as condições críticas do metano e, depois, encontrar a massa desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a temperatura de -50 °C para Kelvin, já que as equações de gás geralmente usam essa escala.

Passo 3

Agora, vamos calcular os parâmetros a e b usando as fórmulas fornecidas:
Onde:
Vamos calcular cada um deles.

Passo 4

Calculando a:
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na fórmula de a:
Calculando :

Passo 5

Calculando b:
Calculando o numerador:
Então:

Passo 6

Agora que temos a e b, vamos usar a Equação de Redlich-Kwong para encontrar o volume específico :
Precisamos resolver para . Essa equação pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos simplificar assumindo que é muito pequeno comparado a , o que é uma boa aproximação em muitas situações. Assim, podemos reescrever:
Vamos rearranjar para resolver :
Isso resulta em uma equação quadrática em termos de :

Passo 7

Vamos identificar os coeficientes da equação quadrática :
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Vamos calcular o discriminante :
Como o discriminante é negativo, isso indica que nossa aproximação simplificada não funciona bem. Portanto, precisamos resolver a equação original numericamente ou utilizar métodos iterativos.

Passo 8

Como resolver numericamente pode ser complexo sem ferramentas, vamos tentar uma aproximação. Sabemos que:
Onde e é a massa que queremos encontrar. Vamos tentar valores iterativamente para até que a pressão calculada pela equação de Redlich-Kwong se aproxime de 65.000 kPa.
Vamos começar assumindo uma massa e ajustar conforme necessário. Por exemplo, se :
Vamos calcular a pressão com esse :
Isso é muito menor que 65.000 kPa. Então, precisamos aumentar a massa para diminuir .

Passo 9

Vamos tentar :
Calculando a pressão:
Ainda muito baixo. Parece que precisamos reduzir ainda mais , ou seja, aumentar mais a massa.

Passo 10

Vamos tentar :
Calculando a pressão:
Ainda bem baixo. Parece que a nossa aproximação simplificada não está ajudando. Vamos precisar adotar uma abordagem melhor ou considerar que a massa armazenada será muito pequena para atingir a pressão desejada com o volume disponível.

Passo 11

Na verdade, percebemos que conforme aumentamos a massa, o volume específico diminui, o que aumenta a pressão. Porém, mesmo com massas muito pequenas, a pressão não está chegando perto dos 65.000 kPa. Isso sugere que, com as condições dadas, não é possível armazenar metano no tanque para atingir essa pressão usando a equação de Redlich-Kwong nas aproximações feitas.

Resposta

Com as condições fornecidas e usando a Equação de Redlich-Kwong, não é possível armazenar uma quantidade finita de metano no tanque de 3 m³ que atinja a pressão de 65.000 kPa. As aproximações indicam que a massa necessária seria extremamente pequena ou inexistente dentro das condições estabelecidas.

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1 2.1 3
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