O valor de
pode ser obtido pela resolução das equações
e
. Utilize o método da bisseç̧ão (com uma precisão adequada) para aproximar os valores de
com relação a solução de cada equação. Caso não seja possível, justifique a falha do método com argumentos do cálculo.
Passo 1
Vamos resolver um exercício para encontrar o valor de
utilizando o método da bisseção aplicado às equações
e
. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e o método numérico da bisseção, que nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma aproximada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos:
-
: Sabemos que o seno de um ângulo é zero em múltiplos de , ou seja, em onde é inteiro. -
: Resolvendo para , temos . O cosseno é igual a -1 quando , onde é inteiro.
Ambas as equações têm soluções próximas a
, que é o que queremos aproximar.
Passo 3
Vamos aplicar o método da bisseção para a primeira equação,
. O método da bisseção requer um intervalo inicial onde a função muda de sinal. Sabemos que
e
, mas queremos encontrar uma raiz no intervalo
por exemplo.
Calculamos o seno em
e
:
Como os sinais são diferentes, podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
Vamos calcular o ponto médio do intervalo
:
Calculamos
. Como
e
, a raiz está entre
e
.
Passo 5
Repetimos o processo com o intervalo
:
Como
e
, a raiz está entre
e
.
Passo 6
Continuamos com o intervalo
:
Agora,
e
, então a raiz está entre
e
.
Passo 7
Mais uma iteração com o intervalo
:
Como
e
, a raiz está entre
e
.
Passo 8
Vamos parar aqui para simplificar e considerar que a aproximação de
com a solução de
é
, que já é uma boa aproximação de
.
Passo 9
Agora, vamos tentar resolver a segunda equação,
, utilizando o método da bisseção. Precisamos encontrar um intervalo onde a função
muda de sinal. Sabemos que
, mas vamos escolher um intervalo próximo, como
.
Calculamos em
e
:
Ambos os valores são positivos, então não há mudança de sinal no intervalo escolhido. Isso significa que o método da bisseção não pode ser aplicado aqui, pois não conseguimos identificar um intervalo onde a função muda de sinal.
Resposta
Utilizando o método da bisseção, aproximamos o valor de
resolvendo
em
. Já na equação
, o método da bisseção não foi aplicável devido à ausência de mudança de sinal no intervalo considerado.
Exercícios relacionados
Integrar, analiticamente, o polinômio obtido no item (a) no intervalo de
.
Seja
tal que
.
(a) Determine os autovalores de .
(a) Determine os autovalores de
A equação de estado de Redlich-Kwong é dada por:
onde
é a constante universal dos gases
, T é a temperatura absoluta ( K ), p é a pressão absoluta ( kPa ) e v é o volume de um kg de gás (
). Os parâmetros a e b são calculados por:
onde pc é a pressão crítica ( kPa ) e Tc é a temperatura crítica ( K ).
Como engenheiro químico, foi-Ihe pedido para determinar a quantidade de gás metano (pc = 4580 kPa e Tc = 191 K ) que pode ser mantido em um tanque de a uma temperatura de - 50
com uma pressão de 65,000 kPa. Qual a massa de metano que pode ser armazenada nessas condições?
Como engenheiro químico, foi-Ihe pedido para determinar a quantidade de gás metano (pc = 4580 kPa e Tc = 191 K ) que pode ser mantido em um tanque de
Considere a tabela
x | 0 | 1 | 2 | 3 | |
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1 | 6 | 5 | -8 | e encontre o polinômio interpolador nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde. Justifique sua resposta. |