O valor de pode ser obtido pela resolução das equações e . Utilize o método da bisseç̧ão (com uma precisão adequada) para aproximar os valores de com relação a solução de cada equação. Caso não seja possível, justifique a falha do método com argumentos do cálculo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício para encontrar o valor de utilizando o método da bisseção aplicado às equações e . Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e o método numérico da bisseção, que nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma aproximada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  1. : Sabemos que o seno de um ângulo é zero em múltiplos de , ou seja, em onde é inteiro.
  2. : Resolvendo para , temos . O cosseno é igual a -1 quando , onde é inteiro.
Ambas as equações têm soluções próximas a , que é o que queremos aproximar.

Passo 3

Vamos aplicar o método da bisseção para a primeira equação, . O método da bisseção requer um intervalo inicial onde a função muda de sinal. Sabemos que e , mas queremos encontrar uma raiz no intervalo por exemplo.
Calculamos o seno em e :
Como os sinais são diferentes, podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Vamos calcular o ponto médio do intervalo :
Calculamos . Como e , a raiz está entre e .

Passo 5

Repetimos o processo com o intervalo :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 6

Continuamos com o intervalo :
Agora, e , então a raiz está entre e .

Passo 7

Mais uma iteração com o intervalo :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 8

Vamos parar aqui para simplificar e considerar que a aproximação de com a solução de é , que já é uma boa aproximação de .

Passo 9

Agora, vamos tentar resolver a segunda equação, , utilizando o método da bisseção. Precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal. Sabemos que , mas vamos escolher um intervalo próximo, como .
Calculamos em e :
Ambos os valores são positivos, então não há mudança de sinal no intervalo escolhido. Isso significa que o método da bisseção não pode ser aplicado aqui, pois não conseguimos identificar um intervalo onde a função muda de sinal.

Resposta

Utilizando o método da bisseção, aproximamos o valor de resolvendo em . Já na equação , o método da bisseção não foi aplicável devido à ausência de mudança de sinal no intervalo considerado.

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x 0 1 2 3
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