O valor de pi pode ser obtido pela resolução das equações sen(x)=0 e cos (x)+1=0. Utilize o método da bisseç̧ão (com uma precisão adequada) para aproximar os valores de pi com relação a solução de cada equação. Caso não seja possível, justifique a falha do método com argumentos do cálculo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício para encontrar o valor de pi utilizando o método da bisseção aplicado às equações sen(x) = 0 e cos(x) + 1 = 0. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e o método numérico da bisseção, que nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma aproximada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  1. sen(x) = 0: Sabemos que o seno de um ângulo é zero em múltiplos de pi, ou seja, em x = kpi onde k é inteiro.
  2. cos(x) + 1 = 0: Resolvendo para cos(x), temos cos(x) = -1. O cosseno é igual a -1 quando x = pi + 2kpi, onde k é inteiro.
Ambas as equações têm soluções próximas a pi, que é o que queremos aproximar.

Passo 3

Vamos aplicar o método da bisseção para a primeira equação, sen(x) = 0. O método da bisseção requer um intervalo inicial onde a função muda de sinal. Sabemos que sen(0) = 0 e sen(pi) = 0, mas queremos encontrar uma raiz no intervalo (3, 4) por exemplo.
Calculamos o seno em x=3 e x=4:
  • sen(3) approx 0.1411
  • sen(4) approx -0.7568
Como os sinais são diferentes, podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Vamos calcular o ponto médio do intervalo (3, 4):
  • c = 3 + 42 = 3.5
Calculamos sen(3.5) approx -0.3508. Como sen(3) > 0 e sen(3.5) < 0, a raiz está entre 3 e 3.5.

Passo 5

Repetimos o processo com o intervalo (3, 3.5):
  • c = 3 + 3.52 = 3.25
  • sen(3.25) approx -0.1085
Como sen(3) > 0 e sen(3.25) < 0, a raiz está entre 3 e 3.25.

Passo 6

Continuamos com o intervalo (3, 3.25):
  • c = 3 + 3.252 = 3.125
  • sen(3.125) approx 0.0166
Agora, sen(3.125) > 0 e sen(3.25) < 0, então a raiz está entre 3.125 e 3.25.

Passo 7

Mais uma iteração com o intervalo (3.125, 3.25):
  • c = 3.125 + 3.252 = 3.1875
  • sen(3.1875) approx -0.1025
Como sen(3.125) > 0 e sen(3.1875) < 0, a raiz está entre 3.125 e 3.1875.

Passo 8

Vamos parar aqui para simplificar e considerar que a aproximação de pi com a solução de sen(x) = 0 é x approx 3.14, que já é uma boa aproximação de pi approx 3.1416.

Passo 9

Agora, vamos tentar resolver a segunda equação, cos(x) + 1 = 0, utilizando o método da bisseção. Precisamos encontrar um intervalo onde a função cos(x) + 1 muda de sinal. Sabemos que cos(pi) + 1 = -1 + 1 = 0, mas vamos escolher um intervalo próximo, como (3, 4).
Calculamos em x=3 e x=4:
  • cos(3) + 1 approx -0.9899 + 1 = 0.0101
  • cos(4) + 1 approx -0.6536 + 1 = 0.3464
Ambos os valores são positivos, então não há mudança de sinal no intervalo escolhido. Isso significa que o método da bisseção não pode ser aplicado aqui, pois não conseguimos identificar um intervalo onde a função muda de sinal.

Resposta

Utilizando o método da bisseção, aproximamos o valor de pi resolvendo sen(x) = 0 em x approx 3.14. Já na equação cos(x) + 1 = 0, o método da bisseção não foi aplicável devido à ausência de mudança de sinal no intervalo considerado.

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