Qual das funções fornece o melhor ajuste segundo o critério dos mínimos quadrados? Use a seguinte expressão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns pontos e precisa descobrir qual função se ajusta melhor a esses pontos usando o critério dos mínimos quadrados. Esse método basicamente busca a função que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função. Para fazer isso, vamos precisar entender como aplicar esse critério para diferentes tipos de funções e ver qual delas dá o menor valor de D.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que a gente tem:
-2
-1
1
2
1
-3
1
9
Nosso objetivo é encontrar uma função que melhor se ajusta a esses pontos. Vamos testar duas funções diferentes: uma linear e uma quadrática.
Passo 3
Função Linear: Vamos tentar uma função do tipo , onde e são coeficientes que a gente precisa determinar.
Para aplicar o critério dos mínimos quadrados, a gente calcula a soma dos quadrados das diferenças entre e para cada ponto:
Vamos montar um sistema de equações para encontrar e que minimizam D.
Passo 4
Calculando as somas necessárias:
Agora, usamos as fórmulas de regressão linear:
Então, a função linear que melhor se ajusta é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de D para a função linear:
Calculando para cada ponto:
Totalizando:
Passo 6
Função Quadrática: Agora, vamos tentar uma função do tipo . Aqui, temos três coeficientes para determinar: , e .
Dessa vez, precisamos montar um sistema de equações baseado nas somas de , , etc. Para simplificar, utilizaremos as fórmulas de regressão quadrática.
Calculamos as somas necessárias:
Montamos o sistema:
Substituindo os valores:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Agora, resolvemos as duas últimas equações:
Multiplicando a primeira por 10:
Multiplicando a segunda por 4:
Subtraindo:
Substituindo na primeira equação:
Então, a função quadrática é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor de D para a função quadrática:
á
Calculando para cada ponto:
Totalizando:
á
Resposta
A função quadrática fornece o melhor ajuste segundo o critério dos mínimos quadrados, com .