Considere a tabela:
x -2 -1 1 2
f(x) 1 -3 1 9
Qual das funções fornece o melhor ajuste segundo o critério dos mínimos quadrados? Use a seguinte expressão:
D=|f-u|^2=sumk=1^m[yk-u(xk)]^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns pontos (x, f(x)) e precisa descobrir qual função se ajusta melhor a esses pontos usando o critério dos mínimos quadrados. Esse método basicamente busca a função que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função. Para fazer isso, vamos precisar entender como aplicar esse critério para diferentes tipos de funções e ver qual delas dá o menor valor de D.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que a gente tem:
x -2 -1 1 2
f(x) 1 -3 1 9
Nosso objetivo é encontrar uma função u(x) que melhor se ajusta a esses pontos. Vamos testar duas funções diferentes: uma linear e uma quadrática.

Passo 3

Função Linear: Vamos tentar uma função do tipo u(x) = ax + b, onde a e b são coeficientes que a gente precisa determinar.
Para aplicar o critério dos mínimos quadrados, a gente calcula a soma dos quadrados das diferenças entre f(x) e u(x) para cada ponto:
D = sumk=1^4 [f(xk) - u(xk)]^2
Vamos montar um sistema de equações para encontrar a e b que minimizam D.

Passo 4

Calculando as somas necessárias:
sum x &= (-2) + (-1) + 1 + 2 = 0 sum y &= 1 + (-3) + 1 + 9 = 8 sum x^2 &= (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 1 + 4 = 10 sum xy &= (-2)(1) + (-1)(-3) + (1)(1) + (2)(9) = -2 + 3 + 1 + 18 = 20
Agora, usamos as fórmulas de regressão linear:
a = n sum xy - (sum x)(sum y)n sum x^2 - (sum x)^2 = 4 times 20 - 0 times 84 times 10 - 0^2 = 8040 = 2
b = sum y - a sum xn = 8 - 2 times 04 = 2
Então, a função linear que melhor se ajusta é:
u(x) = 2x + 2

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor de D para a função linear:
Dlinear = sum [f(x) - (2x + 2)]^2
Calculando para cada ponto:
x = -2: & 1 - (2(-2) + 2) = 1 - (-4 + 2) = 1 - (-2) = 3 Rightarrow 3^2 = 9 x = -1: & -3 - (2(-1) + 2) = -3 - (-2 + 2) = -3 - 0 = -3 Rightarrow (-3)^2 = 9 x = 1: & 1 - (2(1) + 2) = 1 - (2 + 2) = 1 - 4 = -3 Rightarrow (-3)^2 = 9 x = 2: & 9 - (2(2) + 2) = 9 - (4 + 2) = 9 - 6 = 3 Rightarrow 3^2 = 9
Totalizando:
Dlinear = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

Passo 6

Função Quadrática: Agora, vamos tentar uma função do tipo u(x) = ax^2 + bx + c. Aqui, temos três coeficientes para determinar: a, b e c.
Dessa vez, precisamos montar um sistema de equações baseado nas somas de x^4, x^3, etc. Para simplificar, utilizaremos as fórmulas de regressão quadrática.
Calculamos as somas necessárias:
sum x &= 0 sum y &= 8 sum x^2 &= 10 sum x^3 &= (-2)^3 + (-1)^3 + 1^3 + 2^3 = -8 -1 +1 +8 = 0 sum x^4 &= (-2)^4 + (-1)^4 + 1^4 + 2^4 = 16 + 1 +1 +16 = 34 sum xy &= 20 sum x^2 y &= (-2)^2 times 1 + (-1)^2 times (-3) + 1^2 times 1 + 2^2 times 9 = 4 times1 +1 times (-3)+1 times1 +4 times9 =4 -3 +1 +36=38
Montamos o sistema:
n cdot c + sum x cdot b + sum x^2 cdot a = sum y sum x cdot c + sum x^2 cdot b + sum x^3 cdot a = sum xy sum x^2 cdot c + sum x^3 cdot b + sum x^4 cdot a = sum x^2 y
Substituindo os valores:
4c + 0b + 10a = 8 0c + 10b + 0a = 20 10c + 0b + 34a = 38
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: 10b = 20 Rightarrow b = 2
Da primeira equação: 4c + 10a = 8
Da terceira equação: 10c + 34a = 38
Agora, resolvemos as duas últimas equações:
Multiplicando a primeira por 10: 40c + 100a = 80
Multiplicando a segunda por 4: 40c + 136a = 152
Subtraindo: (40c + 136a) - (40c + 100a) = 152 - 80 Rightarrow 36a = 72 Rightarrow a = 2
Substituindo a = 2 na primeira equação: 4c + 20 = 8 Rightarrow 4c = -12 Rightarrow c = -3
Então, a função quadrática é:
u(x) = 2x^2 + 2x - 3

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor de D para a função quadrática:
Dquadrática = sum [f(x) - (2x^2 + 2x -3)]^2 á
Calculando para cada ponto:
x = -2: & 1 - (2(-2)^2 + 2(-2) -3) = 1 - (8 -4 -3) = 1 -1 = 0 Rightarrow 0^2 = 0 x = -1: & -3 - (2(-1)^2 + 2(-1) -3) = -3 - (2 -2 -3) = -3 - (-3) = 0 Rightarrow 0^2 = 0 x = 1: & 1 - (2(1)^2 + 2(1) -3) = 1 - (2 +2 -3) = 1 -1 = 0 Rightarrow 0^2 = 0 x = 2: & 9 - (2(2)^2 + 2(2) -3) = 9 - (8 +4 -3) = 9 -9 = 0 Rightarrow 0^2 = 0
Totalizando:
Dquadrática = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 á

Resposta

A função quadrática u(x) = 2x^2 + 2x - 3 fornece o melhor ajuste segundo o critério dos mínimos quadrados, com D = 0.

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