Considere a tabela a seguir e faça o que se pede
x 0 1 2 3 4
e^x 1 2.71818 7.38905 20.08563 54.39815
a) Determine e^3.4 por interpolação quadrática.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar utilizando interpolação quadrática. Esse problema pertence ao conteúdo de interpolação polinomial, especificamente a interpolação quadrática, que é usada para estimar valores intermediários com base em três pontos conhecidos de uma tabela. Para resolver, vamos precisar selecionar três pontos da tabela fornecida e aplicar a fórmula da interpolação quadrática.

Passo 2

Primeiro, identificamos os três pontos mais próximos a c|ccccc x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 hline e^x & 1 & 2.71818 & 7.38905 & 20.08563 & 54.39815 na tabela para obter uma melhor aproximação. Observando a tabela:
Os pontos mais próximos a são , e .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da interpolação quadrática de Lagrange, que é dada por:
P(x) = e^x0 cdot (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) + e^x1 cdot (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) + e^x2 cdot (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1)
Onde , , , e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
P(3.4) = 7.38905 cdot (3.4 - 3)(3.4 - 4)(2 - 3)(2 - 4) + 20.08563 cdot (3.4 - 2)(3.4 - 4)(3 - 2)(3 - 4) + 54.39815 cdot (3.4 - 2)(3.4 - 3)(4 - 2)(4 - 3)

Passo 5

Calculando cada termo separadamente:
Primeiro termo:
7.38905 cdot (0.4)(-0.6)(-1)(-2) = 7.38905 cdot -0.242 = 7.38905 cdot (-0.12) = -0.886686
Segundo termo:
20.08563 cdot (1.4)(-0.6)(1)(-1) = 20.08563 cdot -0.84-1 = 20.08563 cdot 0.84 = 16.071538
Terceiro termo:
54.39815 cdot (1.4)(0.4)(2)(1) = 54.39815 cdot 0.562 = 54.39815 cdot 0.28 = 15.231482

Passo 6

Agora, somamos os três termos:
P(3.4) = -0.886686 + 16.071538 + 15.231482 = 30.416334

Resposta

Portanto, a estimativa de por interpolação quadrática é aproximadamente .

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