Encontrar a maior raiz da equação 3 x^2-e^x=0 com epsilon<10^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Esse tipo de equação envolve funções exponenciais e quadráticas, então a gente vai precisar usar métodos numéricos para achar as raízes, já que não dá pra resolver algebricamente de forma simples. Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações cada vez mais precisas das raízes de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar a equação para a forma f(x) = 3x^2 - e^x . Então temos:
f'(x) = 6x - e^x
Agora, vamos calcular a derivada dessa função, , que é necessária para o Método de Newton:

Passo 3

Escolhemos um ponto inicial f(1) = 3(1)^2 - e^1 = 3 - e approx 3 - 2.718 approx 0.282 próximo da raiz que estamos procurando. Observando o gráfico ou fazendo alguns cálculos rápidos, percebemos que para f(2) = 3(2)^2 - e^2 = 12 - 7.389 approx 4.611 :
E para :
Percebe-se que a função está aumentando, então vamos escolher como nosso ponto de partida.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(1) approx 0.282 f'(1) = 6(1) - e^1 approx 6 - 2.718 approx 3.282 x1 = 1 - 0.2823.282 approx 1 - 0.086 approx 0.914 :

Passo 5

Agora, usamos f(0.914) = 3(0.914)^2 - e^0.914 approx 3(0.835) - 2.493 approx 2.505 - 2.493 approx 0.012 f'(0.914) = 6(0.914) - e^0.914 approx 5.484 - 2.493 approx 2.991 x2 = 0.914 - 0.0122.991 approx 0.914 - 0.004 approx 0.910 para encontrar :

Passo 6

Vamos verificar se o erro está abaixo de |x2 - x1| = |0.910 - 0.914| = 0.004 < 0.01 :
Como a diferença é menor que , nossa aproximação é suficientemente precisa.

Resposta

A maior raiz da equação com é aproximadamente .

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