Considere a tabela de valores de uma função polinomial p(t) de grau menor ou igual a três que descreve a velocidade de um ciclista em cinco instantes de tempo:
Ti 0 1 2 3 4
P(ti) 1 c 3 0 0
b- Recorrendo à regra de Simpson composta, determine o valor exato de c. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma tabela que mostra a velocidade de um ciclista em cinco momentos diferentes, e a função que descreve essa velocidade é um polinômio de grau no máximo três. A gente precisa usar a regra de Simpson composta para descobrir o valor de . Então, vamos precisar entender como aplicar a regra de Simpson para integração numérica quando temos dados discretos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson. É um método para aproximar a integral de uma função, ou seja, a área sob a curva dessa função. A regra de Simpson funciona bem quando a função é suave e pode ser aproximada por um polinômio de segundo grau em cada intervalo.
A fórmula da regra de Simpson composta para um intervalo dividido em integrala^b f(t) , dt approx De subintervalos (onde é par) é:
í
Onde .

Passo 3

No nosso caso, os pontos de tempo são de De a , com intervalos de 1 unidade de tempo. Então, temos , , e subintervalos (pois temos 5 pontos).
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da regra de Simpson composta com os valores que temos:
integral0^4 p(t) , dt approx 13 [ p(0) + 4 ( p(1) + p(3) ) + 2 cdot p(2) + p(4) ]
Substituindo os valores da tabela:
p(0) = 1, p(1) = c, p(2) = 3, p(3) = 0, p(4) = 0
Então:
integral0^4 p(t) , dt approx 13 [ 1 + 4(c + 0) + 2 cdot 3 + 0 ]

Passo 5

Simplificando a expressão:
integral0^4 p(t) , dt approx 13 [ 1 + 4c + 6 ] = 13 (7 + 4c)

Passo 6

Como a função integral0^4 p(t) , dt = 13 (7 + 4c) é um polinômio de grau no máximo três, sabemos que a regra de Simpson composta nos dá a integral exata desta função. Ou seja:
Mas, para encontrar , precisamos de mais informações sobre a integral de nesse intervalo. Vamos supor que a área sob a curva seja conhecida ou que exista uma condição adicional que nos permita resolver para . Como a questão pede o valor exato de , vamos considerar que a integral pode ser calculada diretamente a partir da tabela.

Passo 7

Outra abordagem é lembrar que a integral de uma função de velocidade 13 (7 + 4c) = integral0^4 p(t) , dt em relação ao tempo nos dá a posição ou deslocamento. Mas, sem informações adicionais sobre o deslocamento, precisamos confiar na aplicação da regra de Simpson.
Voltando à expressão que temos:
Para determinar o valor exato de , precisamos que essa integral seja igual à integral exata do polinômio dado pelos pontos. Como usamos a regra de Simpson composta já sabemos que a aproximação é exata para polinômios de até terceiro grau, então podemos igualar a expressão para resolver .

Resposta

Resolvendo e sabendo que a regra de Simpson é exata para polinômios de grau até três, temos que .

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