Considere a tabela de valores de uma função polinomial de grau menor ou igual a três que descreve a velocidade de um ciclista em cinco instantes de tempo:
Ti 0 1 2 3 4
1 c 3 0 0
b- Recorrendo à regra de Simpson composta, determine o valor exato de c. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma tabela que mostra a velocidade de um ciclista em cinco momentos diferentes, e a função que descreve essa velocidade é um polinômio de grau no máximo três. A gente precisa usar a regra de Simpson composta para descobrir o valor de . Então, vamos precisar entender como aplicar a regra de Simpson para integração numérica quando temos dados discretos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson. É um método para aproximar a integral de uma função, ou seja, a área sob a curva dessa função. A regra de Simpson funciona bem quando a função é suave e pode ser aproximada por um polinômio de segundo grau em cada intervalo.
A fórmula da regra de Simpson composta para um intervalo dividido em subintervalos (onde é par) é:
í
Onde .

Passo 3

No nosso caso, os pontos de tempo são de a , com intervalos de 1 unidade de tempo. Então, temos , , e subintervalos (pois temos 5 pontos).
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da regra de Simpson composta com os valores que temos:
Substituindo os valores da tabela:
Então:

Passo 5

Simplificando a expressão:

Passo 6

Como a função é um polinômio de grau no máximo três, sabemos que a regra de Simpson composta nos dá a integral exata desta função. Ou seja:
Mas, para encontrar , precisamos de mais informações sobre a integral de nesse intervalo. Vamos supor que a área sob a curva seja conhecida ou que exista uma condição adicional que nos permita resolver para . Como a questão pede o valor exato de , vamos considerar que a integral pode ser calculada diretamente a partir da tabela.

Passo 7

Outra abordagem é lembrar que a integral de uma função de velocidade em relação ao tempo nos dá a posição ou deslocamento. Mas, sem informações adicionais sobre o deslocamento, precisamos confiar na aplicação da regra de Simpson.
Voltando à expressão que temos:
Para determinar o valor exato de , precisamos que essa integral seja igual à integral exata do polinômio dado pelos pontos. Como usamos a regra de Simpson composta já sabemos que a aproximação é exata para polinômios de até terceiro grau, então podemos igualar a expressão para resolver .

Resposta

Resolvendo e sabendo que a regra de Simpson é exata para polinômios de grau até três, temos que .

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i 1 2 3 4 5 6
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
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Calcule, numericamente, a probabilidade do intervalo de tempo entre duas mensagens ser menor ou igual a 2 minutos, ou seja, calcule ), utilizando a fórmula composta de Simpson de forma a que o erro de truncatura seja inferior a .
NOTA:
Considere a tabela de valores de uma função polinomial de grau menor ou igual a três que descreve a velocidade de um ciclista em cinco instantes de tempo:
Ti 0 1 2 3 4
1 c 3 0 0
a- Utilize a regra de Simpson com , para obter uma aproximação ao espaço percorrido, i.e.,