Considere a tabela de valores de uma função polinomial
de grau menor ou igual a três que descreve a velocidade de um ciclista em cinco instantes de tempo:
Ti | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
1 | c | 3 | 0 | 0 |
b- Recorrendo à regra de Simpson composta, determine o valor exato de c. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma tabela que mostra a velocidade de um ciclista em cinco momentos diferentes, e a função que descreve essa velocidade é um polinômio de grau no máximo três. A gente precisa usar a regra de Simpson composta para descobrir o valor de
. Então, vamos precisar entender como aplicar a regra de Simpson para integração numérica quando temos dados discretos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra de Simpson. É um método para aproximar a integral de uma função, ou seja, a área sob a curva dessa função. A regra de Simpson funciona bem quando a função é suave e pode ser aproximada por um polinômio de segundo grau em cada intervalo.
A fórmula da regra de Simpson composta para um intervalo dividido em
subintervalos (onde
é par) é:
Onde
.
Passo 3
No nosso caso, os pontos de tempo são de
a
, com intervalos de 1 unidade de tempo. Então, temos
,
, e
subintervalos (pois temos 5 pontos).
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da regra de Simpson composta com os valores que temos:
Substituindo os valores da tabela:
Então:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Como a função
é um polinômio de grau no máximo três, sabemos que a regra de Simpson composta nos dá a integral exata desta função. Ou seja:
Mas, para encontrar
, precisamos de mais informações sobre a integral de
nesse intervalo. Vamos supor que a área sob a curva seja conhecida ou que exista uma condição adicional que nos permita resolver para
. Como a questão pede o valor exato de
, vamos considerar que a integral pode ser calculada diretamente a partir da tabela.
Passo 7
Outra abordagem é lembrar que a integral de uma função de velocidade
em relação ao tempo nos dá a posição ou deslocamento. Mas, sem informações adicionais sobre o deslocamento, precisamos confiar na aplicação da regra de Simpson.
Voltando à expressão que temos:
Para determinar o valor exato de
, precisamos que essa integral seja igual à integral exata do polinômio
dado pelos pontos. Como usamos a regra de Simpson composta já sabemos que a aproximação é exata para polinômios de até terceiro grau, então podemos igualar a expressão para resolver
.
Resposta
Resolvendo
e sabendo que a regra de Simpson é exata para polinômios de grau até três, temos que
.