Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga e .
19.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga os pontos e .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente com equações de retas.
O que vamos precisar:
Conhecer os vetores posição dos pontos e .
Entender como formar a equação vetorial de uma reta.
Saber derivar as equações paramétricas a partir da equação vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores posição dos pontos e .
O vetor posição de é:
Agora, vamos identificar o vetor posição de . Porém, percebi que o ponto está com apenas duas coordenadas: . Para trabalharmos no espaço tridimensional, precisamos de três coordenadas. Vou assumir que a terceira coordenada de é , então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor diretor da reta que liga d = Q - P = 13 - 0 1 - (-1) 0 - 1 = 13 2 -1 e . O vetor diretor é dado pela diferença entre os vetores posição:
Passo 4
Com o vetor diretor em mãos, podemos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial é dada por:
r(t) = P + t cdot d
onde r(t) = 0 -1 1 + t cdot 13 2 -1 é um parâmetro real.
Substituindo os valores:
Passo 5
Para deixar mais claro, vamos separar as coordenadas na equação vetorial:
x = 0 + t cdot 13 = t3 y = -1 + t cdot 2 = -1 + 2t z = 1 + t cdot (-1) = 1 - t
Essas são as equações paramétricas da reta.
Resposta
A equação vetorial do segmento de reta que liga r(t) = 0 -1 1 + t cdot 13 2 -1 , 0 <= t <= 1 e x = dfract3 y = -1 + 2t z = 1 - t , 0 <= t <= 1 é: