A constante de velocidade (K) de uma reação química de 1ª ordem é relacionada com a concentração © e o tempo (T) pela equação
C=C0 e^-K T
onde C0 é a concentração inicial. Calcular a concentração inicial e a constante de velocidade de ordem 1 da reação cujos valores de T e C são dados abaixo:
i 1 2 3 4 5 6
|c|c|c|c|c|c|c| hline i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 hline $T(seg)$ & 0.05 & 0.10 & 0.15 & 0.20 & 0.25 & 0.30 hline $Ci(Mol / l)$ & 0.86 & 0.68 & 0.59 & 0.47 & 0.43 & 0.38 hline 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
0.86 0.68 0.59 0.47 0.43 0.38

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reação química de 1ª ordem onde a concentração C = C0 e^-K T varia com o tempo segundo a equação:
Aqui, é a concentração inicial e é a constante de velocidade que precisamos encontrar. A gente tem uma tabela com valores de e e precisa descobrir tanto quanto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reação de 1ª ordem. Isso quer dizer que a velocidade da reação depende diretamente da concentração do reagente. A equação que a gente tem relaciona a concentração no tempo ln C = ln C0 - K T com a concentração inicial .
Para facilitar, vamos reorganizar a equação para tornar a resolução mais simples. A gente pode tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação:
Essa forma linear nos permite usar métodos de regressão linear para encontrar os valores de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o logaritmo natural das concentrações |c|c|c| hline i & T (seg) & ln C (Mol/l) hline 1 & 0.05 & ln(0.86) approx -0.1508 2 & 0.10 & ln(0.68) approx -0.3857 3 & 0.15 & ln(0.59) approx -0.5276 4 & 0.20 & ln(0.47) approx -0.7550 5 & 0.25 & ln(0.43) approx -0.8432 6 & 0.30 & ln(0.38) approx -0.9676 hline para cada valor de . Isso vai transformar nossa tabela original em uma tabela de versus :

Passo 4

Com esses valores, podemos construir um gráfico de ln C = m T + b versus . A ideia é ajustar uma reta nessa plotagem, onde a inclinação da reta será e o ponto onde a reta cruza o eixo (quando ) será .
Mas como estamos fazendo isso manualmente, vamos usar a fórmula da regressão linear para encontrar a inclinação e a interceptação :
Onde:

Passo 5

Vamos calcular as somas necessárias para a regressão linear:
n &= 6 sum T &= 0.05 + 0.10 + 0.15 + 0.20 + 0.25 + 0.30 = 1.05 sum ln C &= -0.1508 -0.3857 -0.5276 -0.7550 -0.8432 -0.9676 = -3.668 sum T^2 &= (0.05)^2 + (0.10)^2 + (0.15)^2 + (0.20)^2 + (0.25)^2 + (0.30)^2 = 0.05 sum T ln C &= (0.05)(-0.1508) + (0.10)(-0.3857) + (0.15)(-0.5276) + (0.20)(-0.7550) + (0.25)(-0.8432) + (0.30)(-0.9676) &approx -0.0075 -0.0386 -0.0791 -0.1510 -0.2108 -0.2903 = -0.7763
Agora, aplicamos as fórmulas da regressão linear:
m = n sum T ln C - (sum T)(sum ln C)n sum T^2 - (sum T)^2
b = sum ln C - m sum Tn
Substituindo os valores:
m = 6 times (-0.7763) - (1.05)(-3.668)6 times 0.05 - (1.05)^2 = -4.6578 + 3.85140.3 - 1.1025 = -0.8064-0.8025 approx 1.006
b = -3.668 - (1.006)(1.05)6 = -3.668 -1.05636 = -4.72436 approx -0.7874

Passo 6

Agora que temos m = -K Rightarrow K = -m approx -1.006 e K approx 1.006 , seg^-1 , podemos encontrar b = ln C0 Rightarrow C0 = e^b approx e^-0.7874 approx 0.454 , Mol/l e (0.05)^2 + (0.10)^2 + (0.15)^2 + (0.20)^2 + (0.25)^2 + (0.30)^2 = 0.0025 + 0.01 + 0.0225 + 0.04 + 0.0625 + 0.09 = 0.2275 :
(0.05)(-0.1508) + (0.10)(-0.3857) + (0.15)(-0.5276) + (0.20)(-0.7550) + (0.25)(-0.8432) + (0.30)(-0.9676) approx -0.0075 -0.0386 -0.0791 -0.1510 -0.2108 -0.2903 = -0.7763
Mas como m = 6 times (-0.7763) - (1.05)(-3.668)6 times 0.2275 - (1.05)^2 = -4.6578 + 3.85141.365 - 1.1025 = -0.80640.2625 approx -3.073 é uma constante positiva, talvez tenhamos um pequeno erro de sinal na regressão. Considerando isso, vamos ajustar:
K = -m approx 3.073 , seg^-1
Para b = ln C0 Rightarrow C0 = e^-0.7874 approx 0.455 , Mol/l :
b = -3.668 - (-3.073)(1.05)6 = -3.668 + 3.22676 = -0.44136 approx -0.0736
No entanto, percebemos que esse valor de C0 = e^-0.0736 approx 0.929 , Mol/l é menor que as concentrações dadas, o que não faz sentido. Provavelmente houve um erro nos cálculos intermediários. Vamos revisar rapidamente:
Recalculando :
E :
Agora recalculando :
Então,
E para :
Ainda parece baixo, então pode ser necessário ajustar os cálculos de :
Então,

Resposta

A concentração inicial é aproximadamente e a constante de velocidade é aproximadamente .

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