A intensidade de uma frente de radiação é dada pela expressão I(t)=I0 e^-alpha t. Encontre as constantes I0 e alpha usando os seguintes dados:
t 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
I(t) 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74
Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a intensidade de uma frente de radiação: . Nosso objetivo é encontrar as constantes e usando os dados fornecidos na tabela. Para isso, vamos usar conceitos de matemática envolvendo funções exponenciais e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que estamos trabalhando: . Aqui:
  • é a intensidade da radiação no tempo .
  • é a intensidade inicial da radiação quando .
  • é a constante de decaimento que indica como a intensidade diminui com o tempo.
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que melhor se ajustam aos dados fornecidos.

Passo 3

Vamos escolher dois pontos da tabela para criar um sistema de equações. Vou pegar 3.16 = I0 e^-0.2 alpha segundos e 2.38 = I0 e^-0.3 alpha segundos como exemplo:
  1. Quando , :
  2. Quando , :

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( 2.383.16 = I0 e^-0.3 alphaI0 e^-0.2 alpha e 2.383.16 = e^-0.3 alpha div e^-0.2 alpha = e^-0.3 alpha + 0.2 alpha = e^-0.1 alpha ). Vamos resolver esse sistema. Primeiro, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos:
2.383.16 = e^-0.1 alpha
Vamos calcular o lado esquerdo:
2.383.16 approx 0.7525
Então:
0.7525 = e^-0.1 alpha
Para encontrar ln(0.7525) = -0.1 alpha , vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
-0.2835 = -0.1 alpha
Calculando o logaritmo:
alpha = -0.2835-0.1 = 2.835
Agora, isolamos :

Passo 6

Agora que temos 3.16 = I0 e^-0.2 times 2.835 , podemos encontrar -0.2 times 2.835 = -0.567 usando uma das equações iniciais. Vou usar a primeira equação:
3.16 = I0 e^-0.567
Calculando o expoente:
e^-0.567 approx 0.5670
Então:
I0 = 3.160.5670 approx 5.5749
Calculando :
Agora, isolamos :

Resposta

As constantes encontradas são:
I0 approx 5.5749 e alpha approx 2.8350

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