Considere uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
0,2
0,7
0,1
Obtenha e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma variável aleatória discreta com uma distribuição de probabilidade específica. A gente precisa encontrar a expectativa , a expectativa do quadrado e a variância . Para resolver isso, vamos usar conceitos de expectativa e variância de variáveis aleatórias, além de aplicar fórmulas básicas dessas medidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a expectativa de uma variável aleatória. A expectativa basicamente nos dá o valor médio que esperamos obter se fizermos várias observações da variável .
A fórmula para calcular a expectativa de é:
Onde são os possíveis valores que pode assumir e é a probabilidade de cada valor.
Passo 3
Agora, vamos calcular . Observando a tabela, temos os valores de e suas respectivas probabilidades. Assumindo que , podemos usar esses valores diretamente.
Fazendo as contas:
Passo 4
Agora vamos calcular , que é a expectativa do quadrado de . A fórmula é similar à da expectativa comum:
Aplicando os valores:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Passo 5
Por fim, para encontrar a variância, usamos a fórmula: