Considere X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
Obtenha E[Y], E[Y^2] e Var[Y].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma variável aleatória discreta com uma distribuição de probabilidade específica. A gente precisa encontrar a expectativa , a expectativa do quadrado e a variância . Para resolver isso, vamos usar conceitos de expectativa e variância de variáveis aleatórias, além de aplicar fórmulas básicas dessas medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a expectativa de uma variável aleatória. A expectativa E[Y] = sumi yi cdot P(Y = yi) basicamente nos dá o valor médio que esperamos obter se fizermos várias observações da variável .
A fórmula para calcular a expectativa de é:
Onde são os possíveis valores que pode assumir e é a probabilidade de cada valor.

Passo 3

Agora, vamos calcular E[Y] = ( pi4 times 0,2 ) + ( pi2 times 0,7 ) + ( 3pi4 times 0,1 ) . Observando a tabela, temos os valores de E[Y] = pi4 times 0,2 + pi2 times 0,7 + 3pi4 times 0,1 e suas respectivas probabilidades. Assumindo que E[Y] = 0,05pi + 0,35pi + 0,075pi = 0,475pi , podemos usar esses valores diretamente.
Fazendo as contas:

Passo 4

Agora vamos calcular E[Y^2] = sumi yi^2 cdot P(Y = yi) , que é a expectativa do quadrado de E[Y^2] = ( (pi4)^2 times 0,2 ) + ( (pi2)^2 times 0,7 ) + ( (3pi4)^2 times 0,1 ) . A fórmula é similar à da expectativa comum:
(pi4)^2 = pi^216, (pi2)^2 = pi^24, (3pi4)^2 = 9pi^216
Aplicando os valores:
E[Y^2] = pi^216 times 0,2 + pi^24 times 0,7 + 9pi^216 times 0,1
Calculando cada termo:
E[Y^2] = 0,0125pi^2 + 0,175pi^2 + 0,05625pi^2 = 0,24375pi^2
Substituindo:

Passo 5

Por fim, para encontrar a variância Var[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 , usamos a fórmula:
Var[Y] = 0,24375pi^2 - (0,475pi)^2
Substituindo os valores que já calculamos:
Var[Y] = 0,24375pi^2 - 0,225625pi^2 = 0,018125pi^2

Resposta

Portanto, os valores são:
E[Y] = 0,475pi
E[Y^2] = 0,24375pi^2
Var[Y] = 0,018125pi^2

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Considere X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
Determine a distribuição de probabilidade de Y:=Sen(X).
Seja X uma variável aleatória com função distribuição dada por:
FX(x)= 0 & , se x<0 12 & , se 0 <= x<1 35 & , se 1 <= x<2 45 & , se 2 <= x<3 910 & , se 3 <= x<4 1 & , se x >= 4
Calcule P(X=2 mid X é par ).
Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Calcule P(X ser par ).
Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Obtenha (não necessariamente fazendo a álgebra) E[X], Var[X], GX(t) e MX(t).