Seja X uma variável aleatória com função distribuição dada por:
FX(x)= 0 & , se x<0 12 & , se 0 <= x<1 35 & , se 1 <= x<2 45 & , se 2 <= x<3 910 & , se 3 <= x<4 1 & , se x >= 4
Calcule P(X=2 mid X é par ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória com uma função de distribuição acumulada definida por diferentes intervalos de . O objetivo é calcular a probabilidade de que seja igual a 2, dado que é um número par. Em termos matemáticos, queremos encontrar é.
Para resolver isso, vamos precisar entender como extrair a função de probabilidade de a partir da função de distribuição acumulada , identificar quais valores de são pares e, finalmente, aplicar a fórmula de probabilidade condicional.

Passo 2

Vamos começar encontrando a função de probabilidade P(X=k) = FX(k) - FX(k^-) para cada valor inteiro . A função de distribuição acumulada nos dá a probabilidade de ser menor ou igual a . Para obter a probabilidade de ser exatamente igual a um valor específico, usamos a diferença entre e , onde é o limite de quando se aproxima de pela esquerda.
Então, a fórmula é:

Passo 3

Vamos calcular P(X=0) = FX(0) - FX(0^-) = 12 - 0 = 12 para cada valor de P(X=1) = FX(1) - FX(1^-) = 35 - 12 = 110 :
  1. Para P(X=2) = FX(2) - FX(2^-) = 45 - 35 = 15 :
    P(X=3) = FX(3) - FX(3^-) = 910 - 45 = 110
    (Porque P(X=4) = FX(4) - FX(4^-) = 1 - 910 = 110 para )
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :

Passo 4

Agora, identificamos quais valores de P(X é par) = P(X=0) + P(X=2) + P(X=4) = 12 + 15 + 110 = 810 = 45 são pares. Os números pares entre 0 e 4 são: 0, 2 e 4.
Vamos calcular a probabilidade de ser par:
é

Passo 5

Por fim, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(X=2 mid X é par) = P(X=2)P(X é par) = 1545 = 14 éé

Resposta

P(X=2 mid X é par) = 14 é

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Considere X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
Reescreva a função de probabilidade utilizando a função indicadora.
Seja X uma variável aleatória com função distribuição dada por:
FX(x)= 0 & , se x<0 12 & , se 0 <= x<1 35 & , se 1 <= x<2 45 & , se 2 <= x<3 910 & , se 3 <= x<4 1 & , se x >= 4
Determine a função de probabilidade de X.
Considere X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
Determine a distribuição de probabilidade de Y:=Sen(X).
Considere X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
Obtenha E[Y], E[Y^2] e Var[Y].