Seja uma variável aleatória com função distribuição dada por:
Calcule P(X=2 mid X é par ).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória com uma função de distribuição acumulada definida por diferentes intervalos de . O objetivo é calcular a probabilidade de que seja igual a 2, dado que é um número par. Em termos matemáticos, queremos encontrar é.
Para resolver isso, vamos precisar entender como extrair a função de probabilidade de a partir da função de distribuição acumulada , identificar quais valores de são pares e, finalmente, aplicar a fórmula de probabilidade condicional.
Passo 2
Vamos começar encontrando a função de probabilidade P(X=k) = FX(k) - FX(k^-) para cada valor inteiro . A função de distribuição acumulada nos dá a probabilidade de ser menor ou igual a . Para obter a probabilidade de ser exatamente igual a um valor específico, usamos a diferença entre e , onde é o limite de quando se aproxima de pela esquerda.
Então, a fórmula é:
Passo 3
Vamos calcular P(X=0) = FX(0) - FX(0^-) = 12 - 0 = 12 para cada valor de P(X=1) = FX(1) - FX(1^-) = 35 - 12 = 110 :
Agora, identificamos quais valores de P(X é par) = P(X=0) + P(X=2) + P(X=4) = 12 + 15 + 110 = 810 = 45 são pares. Os números pares entre 0 e 4 são: 0, 2 e 4.
Vamos calcular a probabilidade de ser par:
é
Passo 5
Por fim, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(X=2 mid X é par) = P(X=2)P(X é par) = 1545 = 14 éé