Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Calcule P(X ser par ).

Passo 1

Entendendo o Problema:
Temos uma variável aleatória discreta P(X = x) = c cdot 12^x-1 cdot 1X(x) que assume valores nos números naturais . A função de probabilidade de é dada por:
𝟙
onde é uma constante e 𝟙 é a função indicadora que garante que pertence a .
Queremos calcular a probabilidade de ser um número par, ou seja, é.
Para resolver isso, precisamos entender como funciona uma função de probabilidade para uma variável discreta e como somar as probabilidades dos eventos que nos interessam (neste caso, os números pares).

Passo 2

Determinar a Constante sumx=1^infty P(X = x) = 1 :
A soma das probabilidades de todos os possíveis valores de sumx=1^infty c cdot 12^x-1 = 1 deve ser igual a 1:
c cdot sumx=1^infty 12^x-1 = 1
Substituindo a função de probabilidade:
sumx=1^infty 12^x-1 = 11 - 12 = 2
Podemos fatorar c cdot 2 = 1 Rightarrow c = 12 :
A soma é uma série geométrica com razão :
Então:

Passo 3

Calcular P(X é par) = sumk=1^infty P(X = 2k) é:
Queremos somar as probabilidades de P(X é par) = sumk=1^infty 12 cdot 12^2k - 1 = 12 sumk=1^infty 12^2k - 1 assumir valores pares:
12^2k - 1 = 2 cdot ( 14 )^k é
Substituindo a função de probabilidade com P(X é par) = 12 cdot 2 sumk=1^infty ( 14 )^k = sumk=1^infty ( 14 )^k :
sumk=1^infty ( 14 )^k = 141 - 14 = 1434 = 13 é
Simplificando o expoente:
Então:
é
Essa soma é uma série geométrica com razão :

Resposta

P(X é par) = 13 é

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x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
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