Considere X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
Determine a distribuição de probabilidade de Y:=Sen(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória discreta com certos valores e probabilidades, e queremos descobrir como fica a distribuição de probabilidade de uma nova variável , que é o seno de . Para isso, vamos precisar entender como transformar os valores de usando a função seno e manter as probabilidades associadas.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os valores que |c|c|c|c| hline x & pi4 & pi2 & 3pi4 hline P(X=x) & 0,2 & 0,7 & 0,1 hline pode assumir e as respectivas probabilidades:

Passo 3

Agora, vamos calcular Y = sin(pi4) = raiz22 approx 0,7071 para cada valor de Y = sin(pi2) = 1 :
  1. Quando Y = sin(3pi4) = raiz22 approx 0,7071 :
  2. Quando :
  3. Quando :

Passo 4

Observamos que assume dois valores distintos:
  • com probabilidades de 0,2 e 0,1 (quando e )
  • com probabilidade de 0,7 (quando )

Passo 5

Vamos somar as probabilidades para os valores iguais de P(Y = raiz22) = 0,2 + 0,1 = 0,3 :
  • Para P(Y = 1) = 0,7 :
  • Para :

Resposta

A distribuição de probabilidade de |c|c|c| hline y & raiz22 & 1 hline P(Y=y) & 0,3 & 0,7 hline é:

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