Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Obtenha (não necessariamente fazendo a álgebra) E[X], Var[X], GX(t) e MX(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória discreta P(X=x) = c cdot 12^x-1 cdot 1X(x) que pode assumir os valores 1, 2, 3, e assim por diante. A função de probabilidade dela é dada por:
𝟙
Aqui, é uma constante que a gente precisa descobrir. Nosso objetivo é encontrar a esperança , a variância , a função geradora de probabilidades e a função geradora de momentos . Para isso, vamos precisar das propriedades de séries geométricas e das definições de esperança, variância e funções geradoras.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de sumx=1^infty P(X=x) = 1 . Sabemos que a soma das probabilidades de todos os possíveis valores de c sumx=1^infty 12^x-1 = 1 deve ser igual a 1:
c cdot 2 = 1 implies c = 12
Substituindo a função de probabilidade:
A soma é uma série geométrica com razão , que converge para . Então:

Passo 3

Agora que sabemos que P(X=x) = 12 cdot 12^x-1 = 12^x , a função de probabilidade fica:
Isso simplifica nossos cálculos futuros.

Passo 4

Vamos calcular a esperança E[X] = sumx=1^infty x cdot P(X=x) = sumx=1^infty x cdot 12^x . A definição de esperança para uma variável discreta é:
Essa soma é conhecida e vale .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a variância E[X^2] = sumx=1^infty x^2 cdot 12^x = 6 . Primeiro, precisamos calcular Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 6 - (2)^2 = 2 :
Com isso, a variância é:

Passo 6

Vamos agora determinar a função geradora de probabilidades GX(t) = E[t^X] = sumx=1^infty t^x cdot 12^x = sumx=1^infty (t2)^x . Ela é definida por:
GX(t) = t21 - t2 = t2 - t, para |t| < 2
Essa é uma série geométrica que converge para:

Passo 7

Por último, vamos encontrar a função geradora de momentos MX(t) = E[e^tX] = sumx=1^infty e^tx cdot 12^x = sumx=1^infty (e^t2)^x . Ela é definida por:
MX(t) = e^t21 - e^t2 = e^t2 - e^t, para e^t < 2 ou t < ln 2
Essa também é uma série geométrica que converge para:

Resposta

E[X] = 2, Var[X] = 2, GX(t) = t2 - t, MX(t) = e^t2 - e^t

Exercícios relacionados

Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Calcule P(X ser par ).
Considere X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
Obtenha E[Y], E[Y^2] e Var[Y].
Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Determine c de forma que a função acima seja uma legítima função de probabilidade.
Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais uma correta) para cada uma de 10 questões.
Qual a probabilidade de que seja aprovado por média, i.e., que acerte 7 ou mais questões?