Considere
uma variável aleatória discreta com suporte em
e função de probabilidade dada por:
Obtenha (não necessariamente fazendo a álgebra)
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória discreta
que pode assumir os valores 1, 2, 3, e assim por diante. A função de probabilidade dela é dada por:
Aqui,
é uma constante que a gente precisa descobrir. Nosso objetivo é encontrar a esperança
, a variância
, a função geradora de probabilidades
e a função geradora de momentos
. Para isso, vamos precisar das propriedades de séries geométricas e das definições de esperança, variância e funções geradoras.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que a soma das probabilidades de todos os possíveis valores de
deve ser igual a 1:
Substituindo a função de probabilidade:
A soma é uma série geométrica com razão
, que converge para
. Então:
Passo 3
Agora que sabemos que
, a função de probabilidade fica:
Isso simplifica nossos cálculos futuros.
Passo 4
Vamos calcular a esperança
. A definição de esperança para uma variável discreta é:
Essa soma é conhecida e vale
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a variância
. Primeiro, precisamos calcular
:
Com isso, a variância é:
Passo 6
Vamos agora determinar a função geradora de probabilidades
. Ela é definida por:
Essa é uma série geométrica que converge para:
Passo 7
Por último, vamos encontrar a função geradora de momentos
. Ela é definida por:
Essa também é uma série geométrica que converge para:
Resposta
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Considere
uma variável aleatória discreta com suporte em
e função de probabilidade dada por:
Calcule
ser par
.
Considere
uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
|
|
|
|
---|---|---|---|
|
0,2 | 0,7 | 0,1 |
Obtenha
e
.
Considere
uma variável aleatória discreta com suporte em
e função de probabilidade dada por:
Determine
de forma que a função acima seja uma legítima função de probabilidade.
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