Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Determine c de forma que a função acima seja uma legítima função de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória discreta P(X=x) = c 12^x-1 1X(x) que pode assumir os valores e uma função de probabilidade dada por:
𝟙
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz dessa função uma função de probabilidade legítima. Isso significa que a soma das probabilidades para todos os possíveis valores de deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer função de probabilidade, a soma de todas as probabilidades deve ser 1. Ou seja:
sumx=1^infty P(X=x) = 1
Substituindo a função de probabilidade dada:
sumx=1^infty c 12^x-1 = 1

Passo 3

Agora, vamos focar na soma:
sumx=1^infty 12^x-1
Podemos simplificar isso mudando o índice de soma. Vamos deixar sumn=0^infty 12^n . Assim, quando , , e quando vai para o infinito, também vai para o infinito. A soma fica:
Esse é um espaço geométrico com razão .

Passo 4

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita sumn=0^infty 12^n = 11 - 12 = 2 é igual a c times 2 = 1 , desde que .
Aqui, , então:
Agora, voltando à nossa equação original:

Resposta

Portanto, o valor de c = 12 que torna a função de probabilidade legítima é:

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