Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais uma correta) para cada uma de 10 questões.
Qual a probabilidade de que seja aprovado por média, i.e., que acerte 7 ou mais questões?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exame de múltipla escolha com 10 questões, cada uma com 5 opções e apenas uma correta. Como você está chutando as respostas, queremos descobrir a probabilidade de você acertar 7 ou mais questões. Vamos usar a probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a probabilidade binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (no caso, 10 questões), cada uma com dois resultados possíveis: sucesso (acertar) ou fracasso (errar). A fórmula para a probabilidade de obter exatamente P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k sucessos em tentativas é:
Aqui:
  • é o número de combinações de tomadas a .
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de fracasso.

Passo 3

No nosso caso:
  • (total de questões),
  • (probabilidade de acertar uma questão),
  • Queremos (acertar 7 ou mais).
Então, precisamos calcular , , e , e depois somar essas probabilidades.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da probabilidade binomial:
  1. Para P(X = 7) = binom107 (0,2)^7 (0,8)^3 :
P(X = 8) = binom108 (0,2)^8 (0,8)^2
  1. Para P(X = 9) = binom109 (0,2)^9 (0,8)^1 :
P(X = 10) = binom1010 (0,2)^10 (0,8)^0
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade total de acertar 7 ou mais questões:
P(X >= 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) approx 0,0079 + 0,000737 + 0,000041 + 0,000001 approx 0,008679

Resposta

A probabilidade de acertar 7 ou mais questões é aproximadamente 0,8679%.

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