Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no máximo três partículas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um contador que registra o número de partículas emitidas por um material radioativo por segundo. Esse número de partículas segue uma distribuição de Poisson com parâmetro igual a 3. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no máximo três partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a distribuição de Poisson e como ela funciona quando o tempo de observação muda.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar o parâmetro da distribuição de Poisson para os dois segundos que estamos considerando. A distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • é a taxa média de ocorrência (número médio de eventos por intervalo de tempo),
  • é o número de eventos que queremos encontrar a probabilidade,
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Como o parâmetro dado é 3 partículas por segundo, para dois segundos, o novo parâmetro lambda = 3 partículas/segundo times 2 segundos = 6 será:
í

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no máximo três partículas. Isso significa que queremos calcular:
P(X <= 3)
Que é a soma das probabilidades de registrar 0, 1, 2 ou 3 partículas.

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Poisson com P(X = 0) = e^-6 times 6^00! = e^-6 times 1 / 1 = e^-6 :
Para P(X = 1) = e^-6 times 6^11! = e^-6 times 6 / 1 = 6e^-6 :
P(X = 2) = e^-6 times 6^22! = e^-6 times 36 / 2 = 18e^-6
Para P(X = 3) = e^-6 times 6^33! = e^-6 times 216 / 6 = 36e^-6 :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter P(X <= 3) = e^-6 + 6e^-6 + 18e^-6 + 36e^-6 :
P(X <= 3) = (1 + 6 + 18 + 36)e^-6
P(X <= 3) = 61e^-6

Resposta

A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no máximo três partículas é aproximadamente 0,0151, ou 1,51%.

Exercícios relacionados

Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais uma correta) para cada uma de 10 questões.
Qual a probabilidade de que seja aprovado por média, i.e., que acerte 7 ou mais questões?
Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Determine c de forma que a função acima seja uma legítima função de probabilidade.
Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
O valor mais provável de partículas registradas em um segundo.
Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Calcule P(X ser divisível por 3 ).