Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no máximo três partículas.
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no máximo três partículas.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um contador que registra o número de partículas emitidas por um material radioativo por segundo. Esse número de partículas segue uma distribuição de Poisson com parâmetro igual a 3. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no máximo três partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a distribuição de Poisson e como ela funciona quando o tempo de observação muda.
Passo 2
Primeiro, precisamos ajustar o parâmetro da distribuição de Poisson para os dois segundos que estamos considerando. A distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
onde:
-
é a taxa média de ocorrência (número médio de eventos por intervalo de tempo), -
é o número de eventos que queremos encontrar a probabilidade, -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Como o parâmetro dado é 3 partículas por segundo, para dois segundos, o novo parâmetro
será:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no máximo três partículas. Isso significa que queremos calcular:
Que é a soma das probabilidades de registrar 0, 1, 2 ou 3 partículas.
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Poisson com
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter
:
Resposta
A probabilidade de que, em dois segundos, sejam registradas no máximo três partículas é aproximadamente 0,0151, ou 1,51%.
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Qual a probabilidade de que seja aprovado por média, i.e., que acerte 7 ou mais questões?
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Considere
uma variável aleatória discreta com suporte em
e função de probabilidade dada por:
Determine
de forma que a função acima seja uma legítima função de probabilidade.
Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
O valor mais provável de partículas registradas em um segundo.
O valor mais provável de partículas registradas em um segundo.
Considere
uma variável aleatória discreta com suporte em
e função de probabilidade dada por:
Calcule
ser divisível por 3
.