Considere X uma variável aleatória discreta com suporte em X=1,2, ldots e função de probabilidade dada por:
P(X=x)=c 12^x-1 1X(x) 𝟙
Calcule P(X ser divisível por 3 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de uma variável aleatória discreta P(X=x) = c cdot 12^x-1 cdot 1X(x) ser divisível por 3. A função de probabilidade de é dada por:
𝟙
onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de probabilidade e séries infinitas para encontrar a constante e calcular a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante sumx=1^infty P(X=x) = 1 . Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, vamos somar c cdot sumx=1^infty 12^x-1 = 1 para todos os valores de sumx=1^infty 12^x-1 = sumk=0^infty 12^k = 11 - 12 = 2 :
c cdot 2 = 1 implies c = 12
Substituindo a expressão da função de probabilidade:
Agora, vamos simplificar a série:
Portanto:

Passo 3

Agora que sabemos que P(X é divisível por 3) = sumk=1^infty P(X=3k) = sumk=1^infty 12 cdot 12^3k-1 , vamos calcular a probabilidade de P(X=3k) = 12 cdot 12^3k-1 = 12^3k ser divisível por 3. Isso significa que queremos a soma das probabilidades para P(X é divisível por 3) = sumk=1^infty 12^3k = sumk=1^infty (18)^k . Ou seja:
sumk=1^infty r^k = r1 - r para |r| < 1 éí
Simplificando a expressão:
sumk=1^infty (18)^k = 181 - 18 = 1878 = 17
Portanto:
éí
Essa é uma série geométrica onde a razão é . A soma dessa série infinita é dada por:
Substituindo :

Resposta

A probabilidade de ser divisível por 3 é .

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