Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
O valor mais provável de partículas registradas em um segundo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um contador Geiser que registra o número de partículas emitidas por segundo de um material radioativo. A gente sabe que esse número de partículas segue uma distribuição de Poisson com parâmetro igual a 3. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor mais provável de partículas registradas em um segundo. Ou seja, queremos descobrir qual é o número de partículas que tem a maior chance de ser registrado nesse intervalo de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente entre si. A fórmula da função de probabilidade da distribuição de Poisson é:
P(x) = e^-lambda lambda^xx!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos,
  • é a taxa média de ocorrência (no nosso caso, 3),
  • é a base dos logaritmos naturais,
  • é o fatorial de .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de P(x+1)P(x) = e^-lambda lambda^x+1 / (x+1)!e^-lambda lambda^x / x! = lambdax+1 que maximiza , ou seja, o valor mais provável. Para isso, podemos observar o comportamento da função de probabilidade da Poisson. Uma maneira eficiente de encontrar o valor mais provável é verificar para quais valores de a probabilidade aumenta ou diminui.
Vamos calcular a razão e analisar quando essa razão é maior ou menor que 1:
Se , então , ou seja, a probabilidade está aumentando. Se , a probabilidade está diminuindo.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde 30+1 = 3 > 1 Rightarrow P(1) > P(0) :
  • Para 31+1 = 1.5 > 1 Rightarrow P(2) > P(1) :
    32+1 = 1 > 1 Rightarrow P(3) = P(2) (Erro na análise anterior)
  • Para 33+1 = 0.75 < 1 Rightarrow P(4) < P(3) :
  • Para :
    á
  • Para :
Isso indica que a probabilidade aumenta até e depois come��a a diminuir. Portanto, o valor mais provável é .

Resposta

O valor mais provável de partículas registradas em um segundo é 3 partículas.

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