Um contador Geiser registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro igual a 3. Obtenha:
O valor mais provável de partículas registradas em um segundo.
O valor mais provável de partículas registradas em um segundo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um contador Geiser que registra o número de partículas emitidas por segundo de um material radioativo. A gente sabe que esse número de partículas segue uma distribuição de Poisson com parâmetro igual a 3. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor mais provável de partículas registradas em um segundo. Ou seja, queremos descobrir qual é o número de partículas que tem a maior chance de ser registrado nesse intervalo de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente entre si. A fórmula da função de probabilidade da distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos, -
é a taxa média de ocorrência (no nosso caso, 3), -
é a base dos logaritmos naturais, -
é o fatorial de .
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que maximiza
, ou seja, o valor mais provável. Para isso, podemos observar o comportamento da função de probabilidade da Poisson. Uma maneira eficiente de encontrar o valor mais provável é verificar para quais valores de
a probabilidade aumenta ou diminui.
Vamos calcular a razão
e analisar quando essa razão é maior ou menor que 1:
Se
, então
, ou seja, a probabilidade está aumentando. Se
, a probabilidade está diminuindo.
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Isso indica que a probabilidade aumenta até
e depois come��a a diminuir. Portanto, o valor mais provável é
.
Resposta
O valor mais provável de partículas registradas em um segundo é 3 partículas.
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Considere
uma variável aleatória discreta com suporte em
e função de probabilidade dada por:
Calcule
ser divisível por 3
.
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