Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais uma correta) para cada uma de 10 questões.
Qual é o número médio de questões respondidas corretamente? E a variância?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo perguntado aqui. Temos um estudante que está respondendo um exame de múltipla escolha por pura adivinhação. Cada questão tem 5 opções de resposta, mas apenas uma está correta. São 10 questões no total. A gente precisa descobrir qual é o número médio de respostas certas que esse aluno vai ter e qual é a variância desse número.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente o distribuição binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou fracasso), e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial que vamos usar:
  • p = 15 = 0,2 : número de tentativas (no nosso caso, 10 questões)
  • : probabilidade de sucesso em cada tentativa (a probabilidade de acertar uma questão por adivinhação)
Sabemos que há 5 opções de resposta e apenas uma está correta, então a probabilidade de acertar uma questão por adivinhação é:

Passo 3

Agora que temos os parâmetros, vamos calcular o número médio de questões respondidas corretamente, que na distribuição binomial é dado por:
mu = n times p
Substituindo os valores:
mu = 10 times 0,2 = 2
Então, em média, o estudante vai acertar 2 questões.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância da distribuição binomial, que nos dá uma ideia de como os resultados se dispersam em torno da média. A fórmula da variância é:
sigma^2 = n times p times (1 - p)
Substituindo os valores:
sigma^2 = 10 times 0,2 times (1 - 0,2)
sigma^2 = 10 times 0,2 times 0,8
sigma^2 = 10 times 0,16
sigma^2 = 1,6
Então, a variância é 1,6.

Resposta

O número médio de questões respondidas corretamente é 2 e a variância é 1,6.

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