Suponha que é conhecido que o número de itens produzidos por semana em uma fábrica é uma variável aleatória com média 60 (em unidades).
Se a variância da produção semanal é conhecida e igual a 25 , então, o que pode-se afirmar sobre a probabilidade da produção semanal estar (exclusive) entre 50 e 70 unidades?
Se a variância da produção semanal é conhecida e igual a 25 , então, o que pode-se afirmar sobre a probabilidade da produção semanal estar (exclusive) entre 50 e 70 unidades?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente sabe que o número de itens produzidos por semana numa fábrica é uma variável aleatória com média de 60 unidades. Também sabemos que a variância dessa produção semanal é 25. A questão quer saber qual a probabilidade da produção estar exclusivamente entre 50 e 70 unidades por semana. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Chebyshev, que ajuda a estimar probabilidades quando a distribuição exata não é conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é média e variância:
- A média (μ) é o valor médio esperado, que aqui é 60 unidades.
- A variância (σ²) mede o quanto os valores se dispersam em torno da média. Aqui, σ² = 25, então o desvio padrão σ é a raiz quadrada da variância: σ = √25 = 5.
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de a produção estar entre 50 e 70 unidades. Isso significa que estamos olhando para uma faixa que vai de 60 - 10 até 60 + 10, ou seja, 60 ± 10.
Passo 4
Com o desvio padrão σ = 5, a diferença de 10 unidades corresponde a 2 desvios padrão, já que 10 = 2 × 5. Então, estamos interessados na probabilidade de a produção estar dentro de 2 desvios padrão da média.
Passo 5
Aqui entra o Teorema de Chebyshev, que diz que para qualquer distribuição, pelo menos
da probabilidade está dentro de k desvios padrão da média. No nosso caso, k = 2.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Substituindo k por 2:
Resposta
A probabilidade da produção semanal estar entre 50 e 70 unidades é pelo menos 75%.