Suponha que é conhecido que o número de itens produzidos por semana em uma fábrica é uma variável aleatória com média 60 (em unidades).
Se a variância da produção semanal é conhecida e igual a 25 , então, o que pode-se afirmar sobre a probabilidade da produção semanal estar (exclusive) entre 50 e 70 unidades?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente sabe que o número de itens produzidos por semana numa fábrica é uma variável aleatória com média de 60 unidades. Também sabemos que a variância dessa produção semanal é 25. A questão quer saber qual a probabilidade da produção estar exclusivamente entre 50 e 70 unidades por semana. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Chebyshev, que ajuda a estimar probabilidades quando a distribuição exata não é conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é média e variância:
  • A média (μ) é o valor médio esperado, que aqui é 60 unidades.
  • A variância (σ²) mede o quanto os valores se dispersam em torno da média. Aqui, σ² = 25, então o desvio padrão σ é a raiz quadrada da variância: σ = √25 = 5.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de a produção estar entre 50 e 70 unidades. Isso significa que estamos olhando para uma faixa que vai de 60 - 10 até 60 + 10, ou seja, 60 ± 10.

Passo 4

Com o desvio padrão σ = 5, a diferença de 10 unidades corresponde a 2 desvios padrão, já que 10 = 2 × 5. Então, estamos interessados na probabilidade de a produção estar dentro de 2 desvios padrão da média.

Passo 5

Aqui entra o Teorema de Chebyshev, que diz que para qualquer distribuição, pelo menos da probabilidade está dentro de k desvios padrão da média. No nosso caso, k = 2.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
P(|X - mu| < ksigma) >= 1 - 1k^2
Substituindo k por 2:
P(|X - 60| < 2 times 5) >= 1 - 12^2 P(50 < X < 70) >= 1 - 14 P(50 < X < 70) >= 0,75

Resposta

A probabilidade da produção semanal estar entre 50 e 70 unidades é pelo menos 75%.

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