Considere X um conjunto cujos elementos são subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial V , ordenado por inclusão, ou seja, se, e somente se, . X , com esta ordem, possui elemento(s) maximal(is)? Qual(is)?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto que consiste em todos os subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial . Esses subconjuntos estão ordenados por inclusão, ou seja, consideramos que se e somente se . A pergunta é: esse conjunto tem elementos maximal(is)? Se sim, quais são?
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como conjuntos linearmente independentes, e noções de ordem em conjuntos, especificamente o que significa ser um elemento maximal em um conjunto parcialmente ordenado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores desse conjunto. Em outras palavras, não há redundância entre os vetores.

Passo 3

Agora, considerando que é o conjunto de todos esses subconjuntos linearmente independentes ordenados por inclusão, queremos saber se existem subconjuntos em que não podem ser “aumentados” sem perder a propriedade de ser linearmente independente. Esses seriam os nossos elementos maximal(is).

Passo 4

Um elemento maximal em seria um subconjunto linearmente independente que, se adicionarmos qualquer outro vetor de a ele, deixaria de ser linearmente independente. Ou seja, não é possível incluir mais nenhum vetor sem perder a independência linear.

Passo 5

Na álgebra linear, esses conjuntos maximal(is) são conhecidos como bases do espaço vetorial . Uma base de é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 6

Portanto, se tiver uma base, todos os conjuntos que são bases de são elementos maximal(is) em . Em espaços vetoriais de dimensão finita, todas as bases têm o mesmo número de vetores, e elas são exatamente os conjuntos maximal(is) em .

Passo 7

Em espaços vetoriais de dimensão infinita, ainda podemos ter bases (desde que o espaço vetorial seja sujeito ao axioma da escolha), e essas bases também seriam elementos maximal(is) em .

Resposta

Sim, possui elementos maximal(is). Os elementos maximal(is) de são precisamente as bases do espaço vetorial .

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Em , considere a ordem definida por se, e somente se, ou, no caso em que . Mostre que , com esta ordem, é parcialmente ordenado. Note que, diferentemente do caso anterior, quaisquer dois elementos de se comparam.
Seja o conjunto dos números naturais e o conjunto das partes de , com a ordem parcial dada por se, e somente se, . Dê exemplos de elementos A , B e C de tais que mas que A e C não se comparam. Determine elementos e de tais que , para todo .
Em , considere a ordem definida por se, e somente se, e . Com esta ordem, é parcialmente ordenado. Dê exemplos de elementos de ) que não se comparam.
Determine equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo .