Considere X um conjunto cujos elementos são subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial V , ordenado por inclusão, ou seja,
se, e somente se,
. X , com esta ordem, possui elemento(s) maximal(is)? Qual(is)?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em todos os subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial
. Esses subconjuntos estão ordenados por inclusão, ou seja, consideramos que
se e somente se
. A pergunta é: esse conjunto
tem elementos maximal(is)? Se sim, quais são?
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como conjuntos linearmente independentes, e noções de ordem em conjuntos, especificamente o que significa ser um elemento maximal em um conjunto parcialmente ordenado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores desse conjunto. Em outras palavras, não há redundância entre os vetores.
Passo 3
Agora, considerando que
é o conjunto de todos esses subconjuntos linearmente independentes ordenados por inclusão, queremos saber se existem subconjuntos em
que não podem ser “aumentados” sem perder a propriedade de ser linearmente independente. Esses seriam os nossos elementos maximal(is).
Passo 4
Um elemento maximal em
seria um subconjunto linearmente independente que, se adicionarmos qualquer outro vetor de
a ele, deixaria de ser linearmente independente. Ou seja, não é possível incluir mais nenhum vetor sem perder a independência linear.
Passo 5
Na álgebra linear, esses conjuntos maximal(is) são conhecidos como bases do espaço vetorial
. Uma base de
é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 6
Portanto, se
tiver uma base, todos os conjuntos que são bases de
são elementos maximal(is) em
. Em espaços vetoriais de dimensão finita, todas as bases têm o mesmo número de vetores, e elas são exatamente os conjuntos maximal(is) em
.
Passo 7
Em espaços vetoriais de dimensão infinita, ainda podemos ter bases (desde que o espaço vetorial seja sujeito ao axioma da escolha), e essas bases também seriam elementos maximal(is) em
.
Resposta
Sim,
possui elementos maximal(is). Os elementos maximal(is) de
são precisamente as bases do espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Em
, considere a ordem definida por
se, e somente se,
ou, no caso em que
. Mostre que
, com esta ordem, é parcialmente ordenado. Note que, diferentemente do caso anterior, quaisquer dois elementos de
se comparam.
Seja
o conjunto dos números naturais e
o conjunto das partes de
, com a ordem parcial
dada por
se, e somente se,
. Dê exemplos de elementos A , B e C de
tais que
mas que A e C não se comparam. Determine elementos
e
de
tais que
, para todo
.
Em
, considere a ordem definida por
se, e somente se,
e
. Com esta ordem,
é parcialmente ordenado. Dê exemplos de elementos de
) que não se comparam.
Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.