Em R^2, considere a ordem definida por (x, y) <=(u, v) se, e somente se, x <= u e y <= v. Com esta ordem, R^2 é parcialmente ordenado. Dê exemplos de elementos de (R^2, <= ) que não se comparam.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre ordem parcial no plano . A gente precisa entender como funciona essa ordem: dois pontos e são comparáveis se e . Nosso objetivo é encontrar exemplos de pares de pontos que não se comparam, ou seja, que não satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma ordem parcial. Em matemática, uma ordem parcial é uma relação que nem sempre permite comparar todos os elementos de um conjunto. No nosso caso, nem todo par de pontos em será comparável usando a regra dada.

Passo 3

Para identificar pares de pontos que não são comparáveis, precisamos achar dois pontos e onde nem e nem e sejam verdadeiros ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos pegar um exemplo concreto. Considere os pontos e .
  • Comparando : Verificamos se e . O primeiro é verdadeiro, mas o segundo é falso. Então, .
  • Comparando : Verificamos se e . O primeiro é falso, mesmo que o segundo seja verdadeiro. Então, .

Passo 5

Como vimos, nenhum dos dois pontos e é menor ou igual ao outro segundo a ordem definida. Portanto, eles não são comparáveis dentro dessa ordem parcial.

Resposta

Um exemplo de pares de elementos que não se comparam em são os pontos e , pois nem nem são verdadeiros.

Exercícios relacionados