Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a equação da reta que está mais próxima do gráfico de
no intervalo
. Isso envolve conhecimentos de aproximação linear e mínimos quadrados, onde buscamos uma reta que melhor se ajusta a uma curva em um certo intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que queremos encontrar uma reta da forma
que esteja “mais próxima” da curva
no intervalo dado. Para medir essa proximidade, usamos o método dos mínimos quadrados, que busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da curva e os valores da reta em cada ponto do intervalo.
Passo 3
Vamos formular o problema matematicamente. Queremos minimizar a integral da diferença ao quadrado entre as duas funções no intervalo
:
Para minimizar essa expressão, precisamos encontrar os valores de
e
que fazem com que as derivadas parciais dessa integral em relação a
e
sejam zero.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, resolvemos essas equações para
e
.
Primeiro, a segunda equação:
Notice que
(por ser uma função ímpar), e
. Portanto:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Calculando as integrais:
Então:
Resposta
A equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Em
, considere a ordem definida por
se, e somente se,
e
. Com esta ordem,
é parcialmente ordenado. Dê exemplos de elementos de
) que não se comparam.
Considere X um conjunto cujos elementos são subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial V , ordenado por inclusão, ou seja,
se, e somente se,
. X , com esta ordem, possui elemento(s) maximal(is)? Qual(is)?
Represente 2.6 no sistema binário
de ponto flutuante com 8 casas na mantissa
.
Prove que o algoritmo iterativo
converge para qualquer valor inicial
.
Determine o valor para o qual este algoritmo converge.
Determine o valor para o qual este algoritmo converge.