Determine equação da reta mais próxima ao gráfico y=1+x^5 no intervalo [-1,1].

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a equação da reta que está mais próxima do gráfico de no intervalo . Isso envolve conhecimentos de aproximação linear e mínimos quadrados, onde buscamos uma reta que melhor se ajusta a uma curva em um certo intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que queremos encontrar uma reta da forma que esteja “mais próxima” da curva no intervalo dado. Para medir essa proximidade, usamos o método dos mínimos quadrados, que busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da curva e os valores da reta em cada ponto do intervalo.

Passo 3

Vamos formular o problema matematicamente. Queremos minimizar a integral da diferença ao quadrado entre as duas funções no intervalo integral-1^1 ( (1 + x^5) - (ax + b) )^2 , dx :
Para minimizar essa expressão, precisamos encontrar os valores de e que fazem com que as derivadas parciais dessa integral em relação a e sejam zero.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a partialpartial a integral-1^1 (1 + x^5 - ax - b)^2 , dx = -2 integral-1^1 x(1 + x^5 - ax - b) , dx = 0 :
partialpartial b integral-1^1 (1 + x^5 - ax - b)^2 , dx = -2 integral-1^1 (1 + x^5 - ax - b) , dx = 0
  1. Derivada em relação a :

Passo 5

Agora, resolvemos essas equações para integral-1^1 (1 + x^5 - ax - b) , dx = 0 e integral-1^1 (1 - b) , dx = (1 - b) cdot 2 = 0 implies b = 1 .
Primeiro, a segunda equação:
integral-1^1 x(1 + x^5 - ax - 1) , dx = integral-1^1 x(x^5 - ax) , dx = integral-1^1 (x^6 - a x^2) , dx = 0
Notice que integral-1^1 x^6 , dx = 27, integral-1^1 x^2 , dx = 23 (por ser uma função ímpar), e 27 - a cdot 23 = 0 implies a = 37 . Portanto:
Agora, substituímos na primeira equação:
Calculando as integrais:
Então:

Resposta

A equação da reta mais próxima ao gráfico y = 37x + 1 no intervalo é:

Exercícios relacionados