Determine equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a equação da reta que está mais próxima do gráfico de no intervalo . Isso envolve conhecimentos de aproximação linear e mínimos quadrados, onde buscamos uma reta que melhor se ajusta a uma curva em um certo intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que queremos encontrar uma reta da forma que esteja “mais próxima” da curva no intervalo dado. Para medir essa proximidade, usamos o método dos mínimos quadrados, que busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da curva e os valores da reta em cada ponto do intervalo.

Passo 3

Vamos formular o problema matematicamente. Queremos minimizar a integral da diferença ao quadrado entre as duas funções no intervalo :
Para minimizar essa expressão, precisamos encontrar os valores de e que fazem com que as derivadas parciais dessa integral em relação a e sejam zero.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 5

Agora, resolvemos essas equações para e .
Primeiro, a segunda equação:
Notice que (por ser uma função ímpar), e . Portanto:
Agora, substituímos na primeira equação:
Calculando as integrais:
Então:

Resposta

A equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo é:

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