Em R^2, considere a ordem definida por (x, y) <=(u, v) se, e somente se, x <= u ou, no caso em que x=u, y <= v. Mostre que R^2, com esta ordem, é parcialmente ordenado. Note que, diferentemente do caso anterior, quaisquer dois elementos de (R^2, <=) se comparam.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: queremos mostrar que o conjunto R^2, com a ordem definida por (x, y) <= (u, v) se, e somente se, x <= u ou, quando x = u, y <= v, é um conjunto parcialmente ordenado. Isso envolve entender o que é uma ordem parcial e verificar se essa relação atende aos três critérios principais: reflexividade, antisimetricidade e transitividade. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de ordem parcial e das propriedades mencionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma ordem parcial. Uma ordem parcial em um conjunto é uma relação binária que satisfaz três propriedades:
  1. Reflexividade: Todo elemento está relacionado a si mesmo.
  2. Antissimetria: Se um elemento está relacionado a outro e vice-versa, então os dois elementos são iguais.
  3. Transitividade: Se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a ordem definida em R^2.

Passo 3

Reflexividade: Precisamos mostrar que todo elemento (x, y) in R^2 satisfaz (x, y) <= (x, y).
Aplicando a definição:
  • x <= x é sempre verdadeiro.
  • Ou, se x = x, então y <= y, que também é sempre verdadeiro.
Portanto, a relação é reflexiva.

Passo 4

Antissimetria: Devemos mostrar que se (x, y) <= (u, v) e (u, v) <= (x, y), então (x, y) = (u, v).
Vamos analisar os dois casos possíveis da definição:
  1. Se x < u, então (x, y) <= (u, v). Mas se também (u, v) <= (x, y), precisaríamos que u < x, o que é uma contradição. Portanto, isso só pode acontecer se x = u.
  2. Se x = u, então temos y <= v e v <= y. Isso implica que y = v.
Assim, se (x, y) <= (u, v) e (u, v) <= (x, y), necessariamente x = u e y = v, ou seja, (x, y) = (u, v). Portanto, a relação é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade: Precisamos mostrar que se (x, y) <= (u, v) e (u, v) <= (w, z), então (x, y) <= (w, z).
Vamos considerar os casos possíveis:
  1. Se x < u e u < w, então x < w, o que implica (x, y) <= (w, z).
  2. Se x < u e u = w, então x < w, novamente implicando (x, y) <= (w, z).
  3. Se x = u e y <= v, e u < w, então x < w, implicando (x, y) <= (w, z).
  4. Se x = u e y <= v, e u = w e v <= z, então x = w e y <= z, implicando (x, y) <= (w, z).
Em todos os casos, a relação é transitiva.

Passo 6

Além disso, o enunciado menciona que, diferentemente de um caso anterior (não fornecido aqui), quaisquer dois elementos de (R^2, <=) são comparáveis. Isso significa que para quaisquer (x, y) e (u, v) em R^2, ou (x, y) <= (u, v) ou (u, v) <= (x, y). Essa propriedade caracteriza uma ordem total, que é um tipo de ordem parcial onde todos os elementos são comparáveis.

Resposta

Assim, verificamos que a relação <= em R^2 satisfaz as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, e que quaisquer dois elementos são comparáveis. Portanto, R^2, com essa ordem, é um conjunto parcialmente ordenado.

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