Em , considere a ordem definida por se, e somente se, ou, no caso em que . Mostre que , com esta ordem, é parcialmente ordenado. Note que, diferentemente do caso anterior, quaisquer dois elementos de se comparam.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: queremos mostrar que o conjunto , com a ordem definida por se, e somente se, ou, quando , , é um conjunto parcialmente ordenado. Isso envolve entender o que é uma ordem parcial e verificar se essa relação atende aos três critérios principais: reflexividade, antisimetricidade e transitividade. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de ordem parcial e das propriedades mencionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma ordem parcial. Uma ordem parcial em um conjunto é uma relação binária que satisfaz três propriedades:
  1. Reflexividade: Todo elemento está relacionado a si mesmo.
  2. Antissimetria: Se um elemento está relacionado a outro e vice-versa, então os dois elementos são iguais.
  3. Transitividade: Se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a ordem definida em .

Passo 3

Reflexividade: Precisamos mostrar que todo elemento satisfaz .
Aplicando a definição:
  • é sempre verdadeiro.
  • Ou, se , então , que também é sempre verdadeiro.
Portanto, a relação é reflexiva.

Passo 4

Antissimetria: Devemos mostrar que se e , então .
Vamos analisar os dois casos possíveis da definição:
  1. Se , então . Mas se também , precisaríamos que , o que é uma contradição. Portanto, isso só pode acontecer se .
  2. Se , então temos e . Isso implica que .
Assim, se e , necessariamente e , ou seja, . Portanto, a relação é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade: Precisamos mostrar que se e , então .
Vamos considerar os casos possíveis:
  1. Se e , então , o que implica .
  2. Se e , então , novamente implicando .
  3. Se e , e , então , implicando .
  4. Se e , e e , então e , implicando .
Em todos os casos, a relação é transitiva.

Passo 6

Além disso, o enunciado menciona que, diferentemente de um caso anterior (não fornecido aqui), quaisquer dois elementos de são comparáveis. Isso significa que para quaisquer e em , ou ou . Essa propriedade caracteriza uma ordem total, que é um tipo de ordem parcial onde todos os elementos são comparáveis.

Resposta

Assim, verificamos que a relação em satisfaz as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, e que quaisquer dois elementos são comparáveis. Portanto, , com essa ordem, é um conjunto parcialmente ordenado.

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