Em
, considere a ordem definida por
se, e somente se,
ou, no caso em que
. Mostre que
, com esta ordem, é parcialmente ordenado. Note que, diferentemente do caso anterior, quaisquer dois elementos de
se comparam.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: queremos mostrar que o conjunto
, com a ordem definida por
se, e somente se,
ou, quando
,
, é um conjunto parcialmente ordenado. Isso envolve entender o que é uma ordem parcial e verificar se essa relação atende aos três critérios principais: reflexividade, antisimetricidade e transitividade. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de ordem parcial e das propriedades mencionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma ordem parcial. Uma ordem parcial em um conjunto é uma relação binária que satisfaz três propriedades:
- Reflexividade: Todo elemento está relacionado a si mesmo.
- Antissimetria: Se um elemento está relacionado a outro e vice-versa, então os dois elementos são iguais.
- Transitividade: Se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a ordem definida em
.
Passo 3
Reflexividade: Precisamos mostrar que todo elemento
satisfaz
.
Aplicando a definição:
-
é sempre verdadeiro. - Ou, se
, então , que também é sempre verdadeiro.
Portanto, a relação é reflexiva.
Passo 4
Antissimetria: Devemos mostrar que se
e
, então
.
Vamos analisar os dois casos possíveis da definição:
-
Se
, então . Mas se também , precisaríamos que , o que é uma contradição. Portanto, isso só pode acontecer se . -
Se
, então temos e . Isso implica que .
Assim, se
e
, necessariamente
e
, ou seja,
. Portanto, a relação é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade: Precisamos mostrar que se
e
, então
.
Vamos considerar os casos possíveis:
-
Se
e , então , o que implica . -
Se
e , então , novamente implicando . -
Se
e , e , então , implicando . -
Se
e , e e , então e , implicando .
Em todos os casos, a relação é transitiva.
Passo 6
Além disso, o enunciado menciona que, diferentemente de um caso anterior (não fornecido aqui), quaisquer dois elementos de
são comparáveis. Isso significa que para quaisquer
e
em
, ou
ou
. Essa propriedade caracteriza uma ordem total, que é um tipo de ordem parcial onde todos os elementos são comparáveis.
Resposta
Assim, verificamos que a relação
em
satisfaz as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, e que quaisquer dois elementos são comparáveis. Portanto,
, com essa ordem, é um conjunto parcialmente ordenado.