Seja o conjunto dos números naturais e o conjunto das partes de , com a ordem parcial dada por se, e somente se, . Dê exemplos de elementos A , B e C de tais que mas que A e C não se comparam. Determine elementos e de tais que , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com teoria dos conjuntos, mais especificamente com o conjunto das partes de , que é o conjunto de todos os subconjuntos de . A ordem que usamos aqui é a inclusão de conjuntos, ou seja, dizemos que se todo elemento de está também em (isso é ). Para resolver, vamos precisar entender como comparar conjuntos e encontrar exemplos que atendam às condições pedidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar exemplos de conjuntos , e em (o conjunto das partes de ) que satisfaçam:
  • (ou seja, )
  • e não se comparam ( e )
Vamos escolher:

Passo 3

Vamos verificar se esses conjuntos atendem às condições:
  1. :
    • Todo elemento de está em ( e estão em ), então .
  2. e não se comparam:
    • Verificando se : e não estão em , então não.
    • Verificando se : e não estão em , então também não.
    • Portanto, e não são comparáveis.

Passo 4

Agora, vamos determinar elementos e em tais que para todo . Isso significa que deve ser um conjunto que está incluído em todos os outros conjuntos (um menor elemento), e deve ser um conjunto que inclui todos os outros conjuntos (um maior elemento).

Passo 5

Pensando bem:
  • Conjunto menor ( ): O único conjunto que está incluído em todos os conjuntos de é o conjunto vazio , porque todo conjunto inclui o vazio.
  • Conjunto maior ( ): O único conjunto que inclui todos os conjuntos de seria inteiro, já que todo subconjunto de está contido em .

Resposta

Então, os conjuntos e satisfazem para todo .

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