Seja
o conjunto dos números naturais e
o conjunto das partes de
, com a ordem parcial
dada por
se, e somente se,
. Dê exemplos de elementos A , B e C de
tais que
mas que A e C não se comparam. Determine elementos
e
de
tais que
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com teoria dos conjuntos, mais especificamente com o conjunto das partes de
, que é o conjunto de todos os subconjuntos de
. A ordem que usamos aqui é a inclusão de conjuntos, ou seja, dizemos que
se todo elemento de
está também em
(isso é
). Para resolver, vamos precisar entender como comparar conjuntos e encontrar exemplos que atendam às condições pedidas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar exemplos de conjuntos
,
e
em
(o conjunto das partes de
) que satisfaçam:
-
(ou seja, ) -
e não se comparam ( e )
Vamos escolher:
Passo 3
Vamos verificar se esses conjuntos atendem às condições:
-
: - Todo elemento de
está em ( e estão em ), então .
- Todo elemento de
-
e não se comparam: - Verificando se
: e não estão em , então não. - Verificando se
: e não estão em , então também não. - Portanto,
e não são comparáveis.
- Verificando se
Passo 4
Agora, vamos determinar elementos
e
em
tais que
para todo
. Isso significa que
deve ser um conjunto que está incluído em todos os outros conjuntos (um menor elemento), e
deve ser um conjunto que inclui todos os outros conjuntos (um maior elemento).
Passo 5
Pensando bem:
-
Conjunto menor (
): O único conjunto que está incluído em todos os conjuntos de é o conjunto vazio , porque todo conjunto inclui o vazio. -
Conjunto maior (
): O único conjunto que inclui todos os conjuntos de seria inteiro, já que todo subconjunto de está contido em .
Resposta
Então, os conjuntos
e
satisfazem
para todo
.
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A equação
possui uma única solução real
no intervalo [1, 2]. Usando o Método das Aproximações Sucessivas,
e
, encontre a aproximação
de
.
A equação
é equivalente à equação
, onde
, e possui uma solução única
. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função
e a aproximação inicial
, calcule os seis termos seguintes da sequência
. É possível concluir que a sequência está convergindo para
?
Em
, considere a ordem definida por
se, e somente se,
ou, no caso em que
. Mostre que
, com esta ordem, é parcialmente ordenado. Note que, diferentemente do caso anterior, quaisquer dois elementos de
se comparam.
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se, e somente se,
. X , com esta ordem, possui elemento(s) maximal(is)? Qual(is)?