Considere X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
Reescreva a função de probabilidade utilizando a função indicadora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever a função de probabilidade de uma variável aleatória discreta usando a função indicadora. Isso está dentro da matéria de Probabilidade, especificamente tratando de funções de distribuição de variáveis aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a função indicadora para representar a distribuição de probabilidade dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma variável aleatória discreta. Ela pode assumir um conjunto finito ou enumerável de valores, cada um com uma certa probabilidade. No nosso caso, a variável pode ser , ou , com probabilidades 0,2, 0,7 e 0,1, respectivamente.

Passo 3

A função indicadora, denotada por IA(x) = 1, & se A é verdadeiro para x, 0, & caso contrário , é uma função que vale 1 se a condição for verdadeira e 0 caso contrário. Ou seja,
éá

Passo 4

Para reescrever a função de probabilidade usando a função indicadora, vamos associar cada valor que P(X = xi) = pi cdot Ix = xi pode assumir com a sua respectiva probabilidade multiplicada pela função indicadora que verifica se é igual a esse valor.
Então, para cada valor que pode assumir, temos:
Onde é a probabilidade associada a .

Passo 5

Aplicando isso aos valores e probabilidades do nosso exercício:
  • Para P(X = x) = 0,2 cdot Ix = pi4 + 0,7 cdot Ix = pi2 + 0,1 cdot Ix = 3pi4 , a probabilidade é 0,2.
  • Para , a probabilidade é 0,7.
  • Para , a probabilidade é 0,1.
Então, a função de probabilidade fica:

Resposta

A função de probabilidade reescrita utilizando a função indicadora é:
P(X = x) = 0,2 cdot Ix = pi4 + 0,7 cdot Ix = pi2 + 0,1 cdot Ix = 3pi4

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Seja X uma variável aleatória com função distribuição dada por:
FX(x)= 0 & , se x<0 12 & , se 0 <= x<1 35 & , se 1 <= x<2 45 & , se 2 <= x<3 910 & , se 3 <= x<4 1 & , se x >= 4
Determine a função de probabilidade de X.
Seja X uma variável aleatória com função distribuição dada por:
FX(x)= 0 & , se x<0 12 & , se 0 <= x<1 35 & , se 1 <= x<2 45 & , se 2 <= x<3 910 & , se 3 <= x<4 1 & , se x >= 4
X é uma variável aleatória de que tipo? Justifique sua resposta.
Seja X uma variável aleatória com função distribuição dada por:
FX(x)= 0 & , se x<0 12 & , se 0 <= x<1 35 & , se 1 <= x<2 45 & , se 2 <= x<3 910 & , se 3 <= x<4 1 & , se x >= 4
Calcule P(X=2 mid X é par ).
Considere X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é dada por
x pi / 4 pi / 2 3 pi / 4
P(X=x) 0,2 0,7 0,1
Determine a distribuição de probabilidade de Y:=Sen(X).