Para um escoamento incompressível no , determine uma possível terceira coordenada da velocidade , sendo que a primeira coordenada é dada por e a segunda é dada por .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a terceira coordenada da velocidade, , num escoamento incompressível no espaço tridimensional. Isso significa que a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de divergência e calcular derivadas parciais das componentes dadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. Para um campo de velocidade , a divergência é dada por:
Como o escoamento é incompressível, temos que:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais que aparecem na expressão da divergência.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Explicação: Derivamos cada termo separadamente. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é porque a derivada de é .

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação da divergência:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar , precisamos integrar a expressão acima em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
  • (como são constantes em relação a )
Somando tudo:

Passo 7

Como estamos determinando uma possível coordenada de velocidade, podemos assumir que a constante de integração é zero (ou pode ser uma função que não depende de , mas para simplificar, consideramos zero).
Portanto, temos:

Resposta

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