Para um escoamento incompressível no
, determine uma possível terceira coordenada da velocidade
, sendo que a primeira coordenada é dada por
e a segunda é dada por
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a terceira coordenada da velocidade,
, num escoamento incompressível no espaço tridimensional. Isso significa que a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de divergência e calcular derivadas parciais das componentes dadas de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. Para um campo de velocidade
, a divergência é dada por:
Como o escoamento é incompressível, temos que:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais que aparecem na expressão da divergência.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Explicação: Derivamos cada termo separadamente. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
porque a derivada de
é
.
Passo 5
Substituindo as derivadas na equação da divergência:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar
, precisamos integrar a expressão acima em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
-
-
-
(como são constantes em relação a ) -
Somando tudo:
Passo 7
Como estamos determinando uma possível coordenada de velocidade, podemos assumir que a constante de integração
é zero (ou pode ser uma função que não depende de
, mas para simplificar, consideramos zero).
Portanto, temos: