Para um escoamento incompressível no R^3, determine uma possível terceira coordenada da velocidade v(x, y, z), sendo que a primeira coordenada é dada por 2 x z+y^2+x z^2 e a segunda é dada por -4 x y^2+ e^z ln (2 y).
Resposta: 8 x y z-e^zy-z^2-z^33

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a terceira coordenada da velocidade, , num escoamento incompressível no espaço tridimensional. Isso significa que a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de divergência e calcular derivadas parciais das componentes dadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. Para um campo de velocidade div , v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z , a divergência é dada por:
partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z = 0
Como o escoamento é incompressível, temos que:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais que aparecem na expressão da divergência.
Primeiro, a derivada parcial de vx = 2xz + y^2 + xz^2 partial vxpartial x = 2z + z^2 em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de vy = -4xy^2 + e^z ln(2y) partial vypartial y = -8xy + e^z cdot 1y em relação a :
Explicação: Derivamos cada termo separadamente. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é porque a derivada de é .

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação da divergência:
2z + z^2 + (-8xy + e^zy) + partial vzpartial z = 0
Simplificando:
partial vzpartial z = -2z - z^2 + 8xy - e^zy

Passo 6

Agora, para encontrar vz = integral (-2z - z^2 + 8xy - e^zy) , dz + C(x, y) , precisamos integrar a expressão acima em relação a vz = 8xy z - e^zy - z^2 - z^33 + C(x, y) :
Vamos integrar termo a termo:
  • (como são constantes em relação a )
Somando tudo:

Passo 7

Como estamos determinando uma possível coordenada de velocidade, podemos assumir que a constante de integração vz = 8xy z - e^zy - z^2 - z^33 é zero (ou pode ser uma função que não depende de , mas para simplificar, consideramos zero).
Portanto, temos:

Resposta

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