Seja um computador binário, cujo sistema de ponto flutuante tenha 1 bit para o sinal do número, 5 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa num total de 12 bits. Responda justificando cada item: Qual o maior , tal que ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um computador que usa números de ponto flutuante com 12 bits no total: 1 bit para o sinal, 5 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa. O objetivo é descobrir qual é o maior valor de que, quando somado a 4,25, ainda resulta em 4,25. Para resolver isso, vamos precisar entender como os números de ponto flutuante são representados e como a precisão desses números afeta as operações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura do número de ponto flutuante no sistema dado. Um número de ponto flutuante é geralmente representado na forma:
Onde:
  • é o bit do sinal (0 para positivo, 1 para negativo).
  • é a mantissa (ou significando), que aqui tem 6 bits.
  • é o expoente, que aqui tem 5 bits.
  • é o viés do expoente, que para 5 bits é .

Passo 3

Vamos agora calcular o número 4,25 nesse sistema. Primeiro, escrevemos 4,25 em binário:
Para normalizar, movemos a vírgula após o primeiro 1:
Então, a mantissa é 000100 (com 6 bits) e o expoente é , que em binário com 5 bits é 10001.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o maior tal que . Isso significa que é tão pequeno que, ao ser adicionado a 4,25, não altera o valor representado devido à limitação de precisão do sistema.
A menor diferença que pode ser representada (chamada de “epsilon de máquina”) é determinada pelo valor da mantissa. Com 6 bits na mantissa, cada incremento representa .

Passo 5

No contexto do número 4,25, o próximo número representável maior é , onde:
Substituindo :
Isso significa que qualquer valor menor que 0,0625, quando adicionado a 4,25, não será representado de forma diferente de 4,25 no sistema.

Passo 6

Portanto, o maior valor de que satisfaz é .

Resposta

O maior tal que é .

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