Seja um computador binário, cujo sistema de ponto flutuante tenha 1 bit para o sinal do número, 5 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa num total de 12 bits. Responda justificando cada item: Qual o maior
, tal que
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um computador que usa números de ponto flutuante com 12 bits no total: 1 bit para o sinal, 5 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa. O objetivo é descobrir qual é o maior valor de
que, quando somado a 4,25, ainda resulta em 4,25. Para resolver isso, vamos precisar entender como os números de ponto flutuante são representados e como a precisão desses números afeta as operações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura do número de ponto flutuante no sistema dado. Um número de ponto flutuante é geralmente representado na forma:
Onde:
-
é o bit do sinal (0 para positivo, 1 para negativo). -
é a mantissa (ou significando), que aqui tem 6 bits. -
é o expoente, que aqui tem 5 bits. -
é o viés do expoente, que para 5 bits é .
Passo 3
Vamos agora calcular o número 4,25 nesse sistema. Primeiro, escrevemos 4,25 em binário:
Para normalizar, movemos a vírgula após o primeiro 1:
Então, a mantissa
é 000100 (com 6 bits) e o expoente
é
, que em binário com 5 bits é 10001.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o maior
tal que
. Isso significa que
é tão pequeno que, ao ser adicionado a 4,25, não altera o valor representado devido à limitação de precisão do sistema.
A menor diferença que pode ser representada (chamada de “epsilon de máquina”) é determinada pelo valor da mantissa. Com 6 bits na mantissa, cada incremento representa
.
Passo 5
No contexto do número 4,25, o próximo número representável maior é
, onde:
Substituindo
:
Isso significa que qualquer valor menor que 0,0625, quando adicionado a 4,25, não será representado de forma diferente de 4,25 no sistema.
Passo 6
Portanto, o maior valor de
que satisfaz
é
.
Resposta
O maior
tal que
é
.
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Este exercício servirá apenas para verificar o domínio do estudante com relação às operações com frações e radicais. Para tal, efetue as operações indicadas nos itens abaixo:
(Neste caso será que precisamos fazer muitos cálculos?)
Construa a tabela de diferenças divididas com os seguintes dados:
|
0.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
-2.78 | -2.241 | -1.65 | -0.594 | 1.34 | 4.564 |
Estime os valores de
e
da melhor maneira possível.