Construir o polinômio de grau três que melhor aproxima, pelo métodos dos mínimos quadrados, os valores da função
nos pontos , , e . Em outras palavras, os valores coincidem com os valores de nos pontos , isto é, para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa construir um polinômio de grau três que melhor aproxima os valores da função nos pontos . Isso significa que queremos encontrar um polinômio que se encaixe da melhor forma possível nesses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios, funções trigonométricas, e o método dos mínimos quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores de nos pontos dados:
Então, temos os pares :
Passo 3
Agora, vamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes do polinômio que minimiza a soma dos quadrados dos erros. O método dos mínimos quadrados nos ajuda a ajustar o polinômio de forma que a soma seja a menor possível.
Para isso, usamos as seguintes equações normais:
Substituindo , teremos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas.
Passo 4
Vamos calcular as somas necessárias:
Também precisamos calcular as somas dos polinômios multiplicados por potências de . Para simplificar, usaremos uma matriz para resolver o sistema.
Passo 5
Montando a matriz das equações normais:
[ sum tj^0 &= 5 sum tj &= -3 -1 +0 +1 +3 = 0 sum tj^2 &= 9 +1 +0 +1 +9 = 20 sum tj^3 &= -27 -1 +0 +1 +27 = 0 sum tj^4 &= 81 +1 +0 +1 +81 = 164 sum tj^5 &= -243 -1 +0 +1 +243 = 0 sum tj^6 &= 729 +1 +0 +1 +729 = 1460
5 & 0 & 20 & 0 0 & 20 & 0 & 164 20 & 0 & 164 & 0 0 & 164 & 0 & 1460 d c b a = 0 7 0 55
]
Vamos calcular as somas das potências de :
Então, a matriz fica:
[
]
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Observamos que algumas equações são simplificadas devido às somas que resultaram em zero. Vamos resolver passo a passo.