Construir o polinômio de grau três que melhor aproxima, pelo métodos dos mínimos quadrados, os valores da função
f(t)=sen(pi t6)
nos pontos t0=-3, t1=-1, t2=0, t3=1 e t4=3. Em outras palavras, os valores yk coincidem com os valores de f(t) nos pontos tj, isto é, yj=f(tj) para j=0,1,2,3,4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa construir um polinômio de grau três que melhor aproxima os valores da função nos pontos . Isso significa que queremos encontrar um polinômio que se encaixe da melhor forma possível nesses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios, funções trigonométricas, e o método dos mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de f(-3) &= sin(pi times (-3)6) = sin(-pi2) = -1 f(-1) &= sin(pi times (-1)6) = sin(-pi6) = -12 f(0) &= sin(0) = 0 f(1) &= sin(pi6) = 12 f(3) &= sin(pi times 36) = sin(pi2) = 1 nos pontos dados:
(-3, -1), (-1, -12), (0, 0), (1, 12), (3, 1)
Então, temos os pares :

Passo 3

Agora, vamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes sumj=0^4 P(tj) &= sumj=0^4 yj sumj=0^4 tj P(tj) &= sumj=0^4 tj yj sumj=0^4 tj^2 P(tj) &= sumj=0^4 tj^2 yj sumj=0^4 tj^3 P(tj) &= sumj=0^4 tj^3 yj do polinômio que minimiza a soma dos quadrados dos erros. O método dos mínimos quadrados nos ajuda a ajustar o polinômio de forma que a soma seja a menor possível.
Para isso, usamos as seguintes equações normais:
Substituindo , teremos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas.

Passo 4

Vamos calcular as somas necessárias:
sum yj &= -1 - 12 + 0 + 12 + 1 = 0 sum tj yj &= (-3)(-1) + (-1)(-12) + 0 times 0 + 1 times 12 + 3 times 1 = 3 + 12 + 12 + 3 = 7 sum tj^2 yj &= (-3)^2 (-1) + (-1)^2 (-12) + 0^2 times 0 + 1^2 times 12 + 3^2 times 1 = 9(-1) + 1(-12) + 0 + 12 + 9 = -9 - 12 + 12 + 9 = 0 sum tj^3 yj &= (-3)^3 (-1) + (-1)^3 (-12) + 0^3 times 0 + 1^3 times 12 + 3^3 times 1 = (-27)(-1) + (-1)(-12) + 0 + 12 + 27 = 27 + 12 + 12 + 27 = 55
Também precisamos calcular as somas dos polinômios multiplicados por potências de . Para simplificar, usaremos uma matriz para resolver o sistema.

Passo 5

Montando a matriz das equações normais:

[
sum tj^0 & sum tj^1 & sum tj^2 & sum tj^3 sum tj^1 & sum tj^2 & sum tj^3 & sum tj^4 sum tj^2 & sum tj^3 & sum tj^4 & sum tj^5 sum tj^3 & sum tj^4 & sum tj^5 & sum tj^6 d c b a = sum yj sum tj yj sum tj^2 yj sum tj^3 yj
sum tj^0 &= 5 sum tj &= -3 -1 +0 +1 +3 = 0 sum tj^2 &= 9 +1 +0 +1 +9 = 20 sum tj^3 &= -27 -1 +0 +1 +27 = 0 sum tj^4 &= 81 +1 +0 +1 +81 = 164 sum tj^5 &= -243 -1 +0 +1 +243 = 0 sum tj^6 &= 729 +1 +0 +1 +729 = 1460

5 & 0 & 20 & 0 0 & 20 & 0 & 164 20 & 0 & 164 & 0 0 & 164 & 0 & 1460 d c b a = 0 7 0 55
]
Vamos calcular as somas das potências de :
Então, a matriz fica:

[


]

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Observamos que algumas equações são simplificadas devido às somas que resultaram em zero. Vamos resolver passo a passo.
  1. Da primeira equação:
5d + 0c + 20b + 0a = 0 Rightarrow 5d + 20b = 0 Rightarrow d = -4b
  1. Da terceira equação:
20d + 0c + 164b + 0a = 0
Substituindo 20(-4b) + 164b = -80b + 164b = 84b = 0 Rightarrow b = 0 :
0d + 20c + 0b + 164a = 7 Rightarrow 20c + 164a = 7
Então, 0d + 164c + 0b + 1460a = 55 Rightarrow 164c + 1460a = 55
  1. Da segunda equação:
20c + 164a = 7 164c + 1460a = 55
  1. Da quarta equação:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 8, para facilitar:
160c + 1312a = 56
Agora, subtraímos a segunda equação multiplicada por 1:
(160c + 1312a) - (164c + 1460a) = 56 - 55 -4c - 148a = 1
Simplificando:
4c + 148a = -1 Rightarrow c + 37a = -14 Rightarrow c = -14 - 37a
Agora, substituímos 20(-14 - 37a) + 164a = 7 -5 - 740a + 164a = 7 -5 - 576a = 7 -576a = 12 a = -12576 = -148 na primeira equação do sistema original:
c = -14 - 37(-148) = -14 + 3748 = -1248 + 3748 = 2548
Agora, encontramos .
Substituindo em :

Passo 8

Agora, já temos todos os coeficientes:
a = -148 b = 0 c = 2548 d = 0
Então, o polinômio P(t) = -148t^3 + 0t^2 + 2548t + 0 = -148t^3 + 2548t fica:

Resposta

O polinômio de grau três que melhor aproxima a função dada pelos mínimos quadrados é:
P(t) = -148t^3 + 2548t

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