Construir os polinômios de grau três que melhor aproximam, pelo métodos dos mínimos quadrados, as tabelas
tj -2 -1 0 1 2
yj 2 1 1 1 2

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente construir um polinômio de grau três que melhor se ajusta aos pontos dados na tabela usando o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos encontrar um polinômio que minimize a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos montar o sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar os coeficientes e . Para isso, usamos a condição dos mínimos quadrados, que nos leva às chamadas equações normais.
Isso envolve somar todas as equações geradas por cada ponto da tabela multiplicados por cada potência de . Basicamente, vamos formar uma matriz onde cada linha corresponde a um ponto da tabela e cada coluna a uma potência de (até a terceira potência, já que o polinômio é de grau três).

Passo 3

Vamos montar a matriz A = (-2)^3 & (-2)^2 & (-2) & 1 (-1)^3 & (-1)^2 & (-1) & 1 0^3 & 0^2 & 0 & 1 1^3 & 1^2 & 1 & 1 2^3 & 2^2 & 2 & 1 = -8 & 4 & -2 & 1 -1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 1 8 & 4 & 2 & 1 e o vetor Y = 2 1 1 1 2 com os valores dados:

[
A =


]

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula dos mínimos quadrados, que é:
(A^T A) cdot X = A^T Y
Onde é a transposta da matriz , e é o vetor dos coeficientes que queremos encontrar.

Passo 5

Vamos calcular A^T A = -8 & -1 & 0 & 1 & 8 4 & 1 & 0 & 1 & 4 -2 & -1 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 1 & 1 -8 & 4 & -2 & 1 -1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 1 8 & 4 & 2 & 1 :
Esse cálculo dará uma matriz que usaremos para resolver o sistema.

Passo 6

Em seguida, calculamos A^T Y = -8 & -1 & 0 & 1 & 8 4 & 1 & 0 & 1 & 4 -2 & -1 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 1 & 1 2 1 1 1 2 :
Esse produto resultará em um vetor .

Passo 7

Com (A^T A)11 a + (A^T A)12 b + (A^T A)13 c + (A^T A)14 d = (A^T Y)1 (A^T A)21 a + (A^T A)22 b + (A^T A)23 c + (A^T A)24 d = (A^T Y)2 (A^T A)31 a + (A^T A)32 b + (A^T A)33 c + (A^T A)34 d = (A^T Y)3 (A^T A)41 a + (A^T A)42 b + (A^T A)43 c + (A^T A)44 d = (A^T Y)4 e calculados, nosso sistema fica assim:
Resolvemos esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 8

Após resolver o sistema (usando métodos como substituição, eliminação de Gauss ou matrizes inversas), encontramos os coeficientes do polinômio de melhor ajuste.

Resposta

O polinômio de grau três que melhor aproxima os dados fornecidos pelo método dos mínimos quadrados é:
p(t) = at^3 + bt^2 + ct + d
Com os coeficientes e determinados a partir da solução do sistema de equações.

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