Construir os polinômios de grau três que melhor aproximam, pelo métodos dos mínimos quadrados, as tabelas
-2
-1
0
1
2
2
1
1
1
2
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente construir um polinômio de grau três que melhor se ajusta aos pontos dados na tabela usando o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos encontrar um polinômio que minimize a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de e .
Passo 2
Primeiro, precisamos montar o sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar os coeficientes e . Para isso, usamos a condição dos mínimos quadrados, que nos leva às chamadas equações normais.
Isso envolve somar todas as equações geradas por cada ponto da tabela multiplicados por cada potência de . Basicamente, vamos formar uma matriz onde cada linha corresponde a um ponto da tabela e cada coluna a uma potência de (até a terceira potência, já que o polinômio é de grau três).
Passo 3
Vamos montar a matriz e o vetor com os valores dados:
[
A =
]
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula dos mínimos quadrados, que é:
Onde é a transposta da matriz , e é o vetor dos coeficientes que queremos encontrar.
Passo 5
Vamos calcular :
Esse cálculo dará uma matriz que usaremos para resolver o sistema.
Passo 6
Em seguida, calculamos :
Esse produto resultará em um vetor .
Passo 7
Com e calculados, nosso sistema fica assim:
Resolvemos esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 8
Após resolver o sistema (usando métodos como substituição, eliminação de Gauss ou matrizes inversas), encontramos os coeficientes do polinômio de melhor ajuste.
Resposta
O polinômio de grau três que melhor aproxima os dados fornecidos pelo método dos mínimos quadrados é:
Com os coeficientes e determinados a partir da solução do sistema de equações.