Construir os polinômios de grau três que melhor aproximam, pelo métodos dos mínimos quadrados, as tabelas
-2
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0
1
2
2
1
1
1
2
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente construir um polinômio de grau três que melhor se ajusta aos pontos dados na tabela usando o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos encontrar um polinômio que minimize a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de e .
Passo 2
Primeiro, precisamos montar o sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar os coeficientes e . Para isso, usamos a condição dos mínimos quadrados, que nos leva às chamadas equações normais.
Isso envolve somar todas as equações geradas por cada ponto da tabela multiplicados por cada potência de . Basicamente, vamos formar uma matriz onde cada linha corresponde a um ponto da tabela e cada coluna a uma potência de (até a terceira potência, já que o polinômio é de grau três).
Passo 3
Vamos montar a matriz e o vetor com os valores dados:
[
A =
]
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula dos mínimos quadrados, que é:
(A^T A) cdot X = A^T Y
Onde é a transposta da matriz , e é o vetor dos coeficientes que queremos encontrar.
Com (A^T A)11 a + (A^T A)12 b + (A^T A)13 c + (A^T A)14 d = (A^T Y)1 (A^T A)21 a + (A^T A)22 b + (A^T A)23 c + (A^T A)24 d = (A^T Y)2 (A^T A)31 a + (A^T A)32 b + (A^T A)33 c + (A^T A)34 d = (A^T Y)3 (A^T A)41 a + (A^T A)42 b + (A^T A)43 c + (A^T A)44 d = (A^T Y)4 e calculados, nosso sistema fica assim:
Resolvemos esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 8
Após resolver o sistema (usando métodos como substituição, eliminação de Gauss ou matrizes inversas), encontramos os coeficientes do polinômio de melhor ajuste.
Resposta
O polinômio de grau três que melhor aproxima os dados fornecidos pelo método dos mínimos quadrados é:
p(t) = at^3 + bt^2 + ct + d
Com os coeficientes e determinados a partir da solução do sistema de equações.