Construir os polinômios de grau três que melhor aproximam, pelo métodos dos mínimos quadrados, as tabelas
-2 -1 0 1 2
2 1 1 1 2

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente construir um polinômio de grau três que melhor se ajusta aos pontos dados na tabela usando o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos encontrar um polinômio que minimize a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos montar o sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar os coeficientes e . Para isso, usamos a condição dos mínimos quadrados, que nos leva às chamadas equações normais.
Isso envolve somar todas as equações geradas por cada ponto da tabela multiplicados por cada potência de . Basicamente, vamos formar uma matriz onde cada linha corresponde a um ponto da tabela e cada coluna a uma potência de (até a terceira potência, já que o polinômio é de grau três).

Passo 3

Vamos montar a matriz e o vetor com os valores dados:

[
A =


]

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula dos mínimos quadrados, que é:
Onde é a transposta da matriz , e é o vetor dos coeficientes que queremos encontrar.

Passo 5

Vamos calcular :
Esse cálculo dará uma matriz que usaremos para resolver o sistema.

Passo 6

Em seguida, calculamos :
Esse produto resultará em um vetor .

Passo 7

Com e calculados, nosso sistema fica assim:
Resolvemos esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 8

Após resolver o sistema (usando métodos como substituição, eliminação de Gauss ou matrizes inversas), encontramos os coeficientes do polinômio de melhor ajuste.

Resposta

O polinômio de grau três que melhor aproxima os dados fornecidos pelo método dos mínimos quadrados é:
Com os coeficientes e determinados a partir da solução do sistema de equações.

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-2 -1 0 1 2
2 -1 0 1 -2
Construir o polinômio de grau três que melhor aproxima, pelo métodos dos mínimos quadrados, os valores da função
nos pontos , , e . Em outras palavras, os valores coincidem com os valores de nos pontos , isto é, para .