Construir os polinômios de grau três que melhor aproximam, pelo métodos dos mínimos quadrados, as tabelas
-2
-1
0
1
2
2
-1
0
1
-2
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de aproximação por mínimos quadrados usando polinômios de grau três. Ou seja, queremos encontrar um polinômio que melhor se ajusta aos pontos dados na tabela, minimizando a soma dos erros quadrados entre os valores observados () e os valores previstos pelo polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau três tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , e que minimizam a soma dos quadrados dos erros:
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que nos leva a um sistema de equações lineares conhecidas como equações normais.
As equações normais para um polinômio de grau três são obtidas igualando a derivada da soma dos quadrados dos erros em relação a cada coeficiente a zero:
Isso resulta em quatro equações:
Passo 4
Vamos calcular agora todas as somas necessárias com os valores da tabela:
Passo 5
Agora, substituímos essas somas nas equações normais:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Começamos pela primeira equação:
Passo 7
Vamos substituir na segunda equação:
Vamos reescrever:
Passo 8
Agora, substituímos e nas demais equações. Vamos na terceira equação:
Multiplicando tudo por 10 para eliminar o denominador:
Passo 9
Agora que temos , podemos encontrar :
E também :
Passo 10
Por fim, usamos a quarta equação para verificar ou encontrar :
Claramente, isso não faz sentido. Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores ou que os dados não são compatíveis para um polinômio de grau três utilizando mínimos quadrados. Reavaliando os passos, notamos que na terceira equação, ao multiplicar por 10:
E resolvemos , resultando em . No entanto, isso gera uma inconsistência na última equação, sugerindo que os dados fornecidos podem não ter uma solução exata ou que um polinômio de grau menor seria mais adequado.
Resposta
Após os cálculos, concluímos que não há um polinômio de grau três que ajuste perfeitamente os pontos fornecidos utilizando o método dos mínimos quadrados, devido a inconsistências nas equações resultantes. Portanto, é recomendado utilizar um polinômio de grau inferior ou revisar os dados fornecidos para uma melhor adequação.