Construir os polinômios interpoladores que satisfazem , usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que construir os polinômios que passam pelos pontos , , , e . Isso é um problema de interpolação polinomial, onde queremos encontrar um polinômio que toca todos esses pontos. Vamos resolver isso usando duas técnicas: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Interpolação de Lagrange
A fórmula de Lagrange nos permite construir um polinômio que passa por todos os pontos dados sem precisar resolver um sistema de equações. Ela é especialmente útil quando temos um conjunto de pontos já definido.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar nossos pontos :

Passo 4

Agora, a fórmula de Lagrange é dada por:
onde são os polinômios base de Lagrange definidos por:

Passo 5

Vamos calcular cada para nossos pontos:
Para :
Substituindo os valores:

Passo 6

Para :

Passo 7

Para :

Passo 8

Para :

Passo 9

Para :

Passo 10

Agora, substituímos todos os na fórmula de Lagrange:
Como e , os primeiros termos desaparecem:

Passo 11

Substituindo os valores de , e :

Passo 12

Simplificando cada termo:

Passo 13

Agora, podemos fatorar como para simplificar:

Passo 14

Calculando os produtos dentro dos colchetes:

Passo 15

Substituindo de volta:

Passo 16

Distribuindo os coeficientes:

Passo 17

Somando os termos semelhantes:
Calculando cada coeficiente:

Passo 18

Substituindo de volta:

Passo 19

Multiplicando pelos termos dentro dos parênteses:

Passo 20

Simplificando os termos semelhantes:

Passo 21

Interpolação de Gregory-Newton
Agora, vamos usar o método de diferenças divididas de Gregory-Newton para encontrar o mesmo polinômio interpolador.

Passo 22

Primeiro, organizamos os pontos em ordem crescente de :

Passo 23

Construímos a tabela de diferenças divididas. Começamos preenchendo a primeira coluna com os valores de :

Passo 24

Calculamos as primeiras diferenças:
Preenchendo a tabela:

Passo 25

Calculamos as segundas diferenças:
Atualizando a tabela:

Passo 26

Calculamos as terceiras diferenças:
Atualizando a tabela:

Passo 27

Calculamos as quartas diferenças:
Atualizando a tabela:

Passo 28

Agora, usamos as diferenças divididas para construir o polinômio de Gregory-Newton:

Passo 29

Substituindo os valores:

Passo 30

Simplificando cada termo:

Passo 31

Expandindo os termos:
Primeiro,
Segundo,
Terceiro,

Passo 32

Substituindo de volta:

Passo 33

Distribuindo o sinal negativo:

Passo 34

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 35

Portanto, o polinômio interpolador usando a fórmula de Gregory-Newton é:

Resposta

Os polinômios interpoladores que satisfazem os pontos dados são:
Pela fórmula de Lagrange:
Pela fórmula de Gregory-Newton:

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