Construir os polinômios interpoladores que satisfazem p(5)=24, p(3)=8, p(1)=0, p(-1)=0, p(2)=3, usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que construir os polinômios que passam pelos pontos , , , e . Isso é um problema de interpolação polinomial, onde queremos encontrar um polinômio que toca todos esses pontos. Vamos resolver isso usando duas técnicas: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Interpolação de Lagrange
A fórmula de Lagrange nos permite construir um polinômio que passa por todos os pontos dados sem precisar resolver um sistema de equações. Ela é especialmente útil quando temos um conjunto de pontos já definido.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar nossos pontos x0 = -1, y0 = 0 x1 = 1, y1 = 0 x2 = 2, y2 = 3 x3 = 3, y3 = 8 x4 = 5, y4 = 24 :

Passo 4

Agora, a fórmula de Lagrange é dada por:
P(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x)
onde Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj são os polinômios base de Lagrange definidos por:

Passo 5

Vamos calcular cada L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3)(x0 - x4) para nossos pontos:
Para L0(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(-1 - 1)(-1 - 2)(-1 - 3)(-1 - 5) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(-2)(-3)(-4)(-6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)144 :
Substituindo os valores:

Passo 6

Para L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3)(x1 - x4) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(1 + 1)(1 - 2)(1 - 3)(1 - 5) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(-16) :

Passo 7

Para L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)(x - x4)(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3)(x2 - x4) = (x + 1)(x - 1)(x - 3)(x - 5)(2 + 1)(2 - 1)(2 - 3)(2 - 5) = (x + 1)(x - 1)(x - 3)(x - 5)(-9) :

Passo 8

Para L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x - x4)(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2)(x3 - x4) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 5)(3 + 1)(3 - 1)(3 - 2)(3 - 5) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 5)(-8) :

Passo 9

Para L4(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x4 - x0)(x4 - x1)(x4 - x2)(x4 - x3) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)(5 + 1)(5 - 1)(5 - 2)(5 - 3) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)48 :

Passo 10

Agora, substituímos todos os P(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + y3 L3(x) + y4 L4(x) na fórmula de Lagrange:
P(x) = 3 cdot L2(x) + 8 cdot L3(x) + 24 cdot L4(x)
Como e , os primeiros termos desaparecem:

Passo 11

Substituindo os valores de P(x) = 3 ( (x + 1)(x - 1)(x - 3)(x - 5)-9 ) + 8 ( (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 5)-8 ) + 24 ( (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)48 ) , e :

Passo 12

Simplificando cada termo:
P(x) = -13(x + 1)(x - 1)(x - 3)(x - 5) - (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 5) + 12(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)

Passo 13

Agora, podemos fatorar P(x) = (x^2 - 1) [ -13(x - 3)(x - 5) - (x - 2)(x - 5) + 12(x - 2)(x - 3) ] como para simplificar:

Passo 14

Calculando os produtos dentro dos colchetes:
(x - 3)(x - 5) = x^2 - 8x + 15
(x - 2)(x - 5) = x^2 - 7x + 10
(x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6

Passo 15

Substituindo de volta:
P(x) = (x^2 - 1) [ -13(x^2 - 8x + 15) - (x^2 - 7x + 10) + 12(x^2 - 5x + 6) ]

Passo 16

Distribuindo os coeficientes:
P(x) = (x^2 - 1) [ -13x^2 + 83x - 5 - x^2 + 7x - 10 + 12x^2 - 52x + 3 ]

Passo 17

Somando os termos semelhantes:
P(x) = (x^2 - 1) [ ( -13 - 1 + 12 )x^2 + ( 83 + 7 - 52 )x + (-5 -10 + 3) ]
Calculando cada coeficiente:
-13 - 1 + 12 = -13 - 33 + 12 = -43 + 12 = -86 + 36 = -56
83 + 7 - 52 = 83 + 213 - 156 = 293 - 52 = 586 - 156 = 436
-5 -10 + 3 = -12

Passo 18

Substituindo de volta:
P(x) = (x^2 - 1) ( -56x^2 + 436x - 12 )

Passo 19

Multiplicando P(x) = -56x^4 + 436x^3 - 12x^2 + 56x^2 - 436x + 12 pelos termos dentro dos parênteses:

Passo 20

Simplificando os termos semelhantes:
P(x) = -56x^4 + 436x^3 - 676x^2 - 436x + 12

Passo 21

Interpolação de Gregory-Newton
Agora, vamos usar o método de diferenças divididas de Gregory-Newton para encontrar o mesmo polinômio interpolador.

Passo 22

Primeiro, organizamos os pontos em ordem crescente de c|c x & p(x) hline -1 & 0 1 & 0 2 & 3 3 & 8 5 & 24 :

Passo 23

Construímos a tabela de diferenças divididas. Começamos preenchendo a primeira coluna com os valores de c|c|c|c|c|c x & p(x) & De:

Passo 24

Calculamos as primeiras diferenças:
De
De
Preenchendo a tabela:
c|c|c|c|c|c x & p(x) & De

Passo 25

Calculamos as segundas diferenças:
De
De
Atualizando a tabela:
c|c|c|c|c|c x & p(x) & De

Passo 26

Calculamos as terceiras diferenças:
De
De
Atualizando a tabela:
c|c|c|c|c|c x & p(x) & De

Passo 27

Calculamos as quartas diferenças:
De
De
Atualizando a tabela:
c|c|c|c|c|c x & p(x) & De

Passo 28

Agora, usamos as diferenças divididas para construir o polinômio de Gregory-Newton:
P(x) = p(x0) + De

Passo 29

Substituindo os valores:
P(x) = 0 + 0(x + 1) + 3(x + 1)(x - 1) + (-1)(x + 1)(x - 1)(x - 2) + 10(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)

Passo 30

Simplificando cada termo:
P(x) = 0 + 0 + 3(x^2 - 1) - (x + 1)(x - 1)(x - 2) + 10(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)

Passo 31

Expandindo os termos:
Primeiro,
Segundo,
Terceiro,

Passo 32

Substituindo de volta:
P(x) = 3x^2 - 3 - (x^3 - 2x^2 - x + 2) + 10x^4 -50x^3 +50x^2 +50x -60

Passo 33

Distribuindo o sinal negativo:
P(x) = 3x^2 - 3 - x^3 + 2x^2 + x - 2 + 10x^4 -50x^3 +50x^2 +50x -60

Passo 34

Agrupando os termos semelhantes:
P(x) = 10x^4 + (-x^3 -50x^3) + (3x^2 + 2x^2 +50x^2) + (x +50x) + (-3 -2 -60)
P(x) = 10x^4 -51x^3 +55x^2 +51x -65

Passo 35

Portanto, o polinômio interpolador usando a fórmula de Gregory-Newton é:
P(x) = 10x^4 -51x^3 +55x^2 +51x -65

Resposta

Os polinômios interpoladores que satisfazem os pontos dados são:
Pela fórmula de Lagrange:
P(x) = -56x^4 + 436x^3 - 676x^2 - 436x + 12
Pela fórmula de Gregory-Newton:
P(x) = 10x^4 -51x^3 +55x^2 +51x -65

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