Construir os polinômios interpoladores que satisfazem
, usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que construir os polinômios que passam pelos pontos
,
,
,
e
. Isso é um problema de interpolação polinomial, onde queremos encontrar um polinômio que toca todos esses pontos. Vamos resolver isso usando duas técnicas: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Interpolação de Lagrange
A fórmula de Lagrange nos permite construir um polinômio que passa por todos os pontos dados sem precisar resolver um sistema de equações. Ela é especialmente útil quando temos um conjunto de pontos já definido.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar nossos pontos
:
Passo 4
Agora, a fórmula de Lagrange é dada por:
onde
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj são os polinômios base de Lagrange definidos por:
Passo 5
Vamos calcular cada
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3)(x0 - x4) para nossos pontos:
Para
L0(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(-1 - 1)(-1 - 2)(-1 - 3)(-1 - 5) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(-2)(-3)(-4)(-6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)144 :
Substituindo os valores:
Passo 6
Para
L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3)(x1 - x4) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(1 + 1)(1 - 2)(1 - 3)(1 - 5) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(-16) :
Passo 7
Para
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)(x - x4)(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3)(x2 - x4) = (x + 1)(x - 1)(x - 3)(x - 5)(2 + 1)(2 - 1)(2 - 3)(2 - 5) = (x + 1)(x - 1)(x - 3)(x - 5)(-9) :
Passo 8
Para
L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x - x4)(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2)(x3 - x4) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 5)(3 + 1)(3 - 1)(3 - 2)(3 - 5) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 5)(-8) :
Passo 9
Para
L4(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x4 - x0)(x4 - x1)(x4 - x2)(x4 - x3) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)(5 + 1)(5 - 1)(5 - 2)(5 - 3) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)48 :
Passo 10
Agora, substituímos todos os
P(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + y3 L3(x) + y4 L4(x) na fórmula de Lagrange:
Como
e
, os primeiros termos desaparecem:
Passo 11
Substituindo os valores de
P(x) = 3 ( (x + 1)(x - 1)(x - 3)(x - 5)-9 ) + 8 ( (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 5)-8 ) + 24 ( (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)48 ) ,
e
:
Passo 12
Simplificando cada termo:
Passo 13
Agora, podemos fatorar
P(x) = (x^2 - 1) [ -13(x - 3)(x - 5) - (x - 2)(x - 5) + 12(x - 2)(x - 3) ] como
para simplificar:
Passo 14
Calculando os produtos dentro dos colchetes:
Passo 15
Substituindo de volta:
Passo 16
Distribuindo os coeficientes:
Passo 17
Somando os termos semelhantes:
Calculando cada coeficiente:
Passo 18
Substituindo de volta:
Passo 19
Multiplicando
P(x) = -56x^4 + 436x^3 - 12x^2 + 56x^2 - 436x + 12 pelos termos dentro dos parênteses:
Passo 20
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 21
Interpolação de Gregory-Newton
Agora, vamos usar o método de diferenças divididas de Gregory-Newton para encontrar o mesmo polinômio interpolador.
Passo 22
Primeiro, organizamos os pontos em ordem crescente de
c|c x & p(x) hline -1 & 0 1 & 0 2 & 3 3 & 8 5 & 24 :
Passo 23
Construímos a tabela de diferenças divididas. Começamos preenchendo a primeira coluna com os valores de
c|c|c|c|c|c x & p(x) & De :
Passo 24
Calculamos as primeiras diferenças:
Preenchendo a tabela:
Passo 25
Calculamos as segundas diferenças:
Atualizando a tabela:
Passo 26
Calculamos as terceiras diferenças:
Atualizando a tabela:
Passo 27
Calculamos as quartas diferenças:
Atualizando a tabela:
Passo 28
Agora, usamos as diferenças divididas para construir o polinômio de Gregory-Newton:
Passo 29
Substituindo os valores:
Passo 30
Simplificando cada termo:
Passo 31
Expandindo os termos:
Primeiro,
Segundo,
Terceiro,
Passo 32
Substituindo de volta:
Passo 33
Distribuindo o sinal negativo:
Passo 34
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 35
Portanto, o polinômio interpolador usando a fórmula de Gregory-Newton é:
Resposta
Os polinômios interpoladores que satisfazem os pontos dados são:
Pela fórmula de Lagrange:
Pela fórmula de Gregory-Newton: