Construir os polinômios interpoladores que satisfazem , usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que construir os polinômios que passam pelos pontos , , , e . Isso é um problema de interpolação polinomial, onde queremos encontrar um polinômio que toca todos esses pontos. Vamos resolver isso usando duas técnicas: a fórmula de interpolação de Lagrange e a de Gregory-Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Interpolação de Lagrange
A fórmula de Lagrange nos permite construir um polinômio que passa por todos os pontos dados sem precisar resolver um sistema de equações. Ela é especialmente útil quando temos um conjunto de pontos já definido.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar nossos pontos :
Passo 4
Agora, a fórmula de Lagrange é dada por:
onde são os polinômios base de Lagrange definidos por:
Passo 5
Vamos calcular cada para nossos pontos:
Para :
Substituindo os valores:
Passo 6
Para :
Passo 7
Para :
Passo 8
Para :
Passo 9
Para :
Passo 10
Agora, substituímos todos os na fórmula de Lagrange:
Como e , os primeiros termos desaparecem:
Passo 11
Substituindo os valores de , e :
Passo 12
Simplificando cada termo:
Passo 13
Agora, podemos fatorar como para simplificar:
Passo 14
Calculando os produtos dentro dos colchetes:
Passo 15
Substituindo de volta:
Passo 16
Distribuindo os coeficientes:
Passo 17
Somando os termos semelhantes:
Calculando cada coeficiente:
Passo 18
Substituindo de volta:
Passo 19
Multiplicando pelos termos dentro dos parênteses:
Passo 20
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 21
Interpolação de Gregory-Newton
Agora, vamos usar o método de diferenças divididas de Gregory-Newton para encontrar o mesmo polinômio interpolador.
Passo 22
Primeiro, organizamos os pontos em ordem crescente de :
Passo 23
Construímos a tabela de diferenças divididas. Começamos preenchendo a primeira coluna com os valores de :
Passo 24
Calculamos as primeiras diferenças:
Preenchendo a tabela:
Passo 25
Calculamos as segundas diferenças:
Atualizando a tabela:
Passo 26
Calculamos as terceiras diferenças:
Atualizando a tabela:
Passo 27
Calculamos as quartas diferenças:
Atualizando a tabela:
Passo 28
Agora, usamos as diferenças divididas para construir o polinômio de Gregory-Newton:
Passo 29
Substituindo os valores:
Passo 30
Simplificando cada termo:
Passo 31
Expandindo os termos:
Primeiro,
Segundo,
Terceiro,
Passo 32
Substituindo de volta:
Passo 33
Distribuindo o sinal negativo:
Passo 34
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 35
Portanto, o polinômio interpolador usando a fórmula de Gregory-Newton é:
Resposta
Os polinômios interpoladores que satisfazem os pontos dados são: