Construir os polinômios interpoladores que satisfazem
; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir polinômios que passam por certos pontos:
,
,
,
, e
. Vamos usar duas técnicas de interpolação: a fórmula de Lagrange e a de Gregory-Newton. Pra isso, precisaremos entender o que são polinômios interpoladores e como aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a fórmula de Lagrange. Essa técnica cria um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A ideia é combinar polinômios simples que cada um “pega” um ponto específico e zera nos outros.
Passo 3
A fórmula geral de Lagrange é:
onde cada
é um polinômio que vale 1 no ponto
e 0 nos demais. Para nossos pontos, vamos calcular cada
.
Passo 4
Vamos identificar os pontos:
Passo 5
Agora, vamos construir cada
. Por exemplo, para
:
E fazemos o mesmo para
,
,
e
.
Passo 6
Vamos calcular
:
Fazemos isso para todos os
.
Passo 7
Após calcular todos os
, montamos o polinômio:
Substituímos cada
e simplificamos para obter o polinômio final.
Passo 8
Agora, vamos usar a fórmula de Gregory-Newton. Essa técnica usa diferenças divididas para construir o polinômio de forma incremental.
Passo 9
Primeiro, organizamos as diferenças divididas em uma tabela. Começamos listando os pontos e calculando as diferenças de ordem crescente.
Passo 10
Com as diferenças calculadas, montamos o polinômio de Gregory-Newton:
Continuamos até incluir todas as diferenças.
Passo 11
Finalmente, simplificamos o polinômio obtido para ter uma expressão mais limpa. Esse será o polinômio interpolador usando Gregory-Newton.
Resposta
Os polinômios interpoladores que satisfazem os pontos dados são:
Usando a fórmula de Lagrange:
E usando a fórmula de Gregory-Newton, o polinômio resultante é:
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; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
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, usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.
Construir os polinômios de grau três que melhor aproximam, pelo métodos dos mínimos quadrados, as tabelas
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