Construir os polinômios interpoladores que satisfazem ; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir polinômios que passam por certos pontos: , , , , e . Vamos usar duas técnicas de interpolação: a fórmula de Lagrange e a de Gregory-Newton. Pra isso, precisaremos entender o que são polinômios interpoladores e como aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a fórmula de Lagrange. Essa técnica cria um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A ideia é combinar polinômios simples que cada um “pega” um ponto específico e zera nos outros.

Passo 3

A fórmula geral de Lagrange é:
onde cada é um polinômio que vale 1 no ponto e 0 nos demais. Para nossos pontos, vamos calcular cada .

Passo 4

Vamos identificar os pontos:

Passo 5

Agora, vamos construir cada . Por exemplo, para :
E fazemos o mesmo para , , e .

Passo 6

Vamos calcular :
Fazemos isso para todos os .

Passo 7

Após calcular todos os , montamos o polinômio:
Substituímos cada e simplificamos para obter o polinômio final.

Passo 8

Agora, vamos usar a fórmula de Gregory-Newton. Essa técnica usa diferenças divididas para construir o polinômio de forma incremental.

Passo 9

Primeiro, organizamos as diferenças divididas em uma tabela. Começamos listando os pontos e calculando as diferenças de ordem crescente.

Passo 10

Com as diferenças calculadas, montamos o polinômio de Gregory-Newton:
Continuamos até incluir todas as diferenças.

Passo 11

Finalmente, simplificamos o polinômio obtido para ter uma expressão mais limpa. Esse será o polinômio interpolador usando Gregory-Newton.

Resposta

Os polinômios interpoladores que satisfazem os pontos dados são:
Usando a fórmula de Lagrange:
E usando a fórmula de Gregory-Newton, o polinômio resultante é:

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