Construir os polinômios interpoladores que satisfazem p(-2)=5, p(-1)=2, p(0)=1, p(1)=2, p(2)=5; usando tanto a fórmula de interpolação de Lagrange, com a de Gregory-Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir polinômios que passam por certos pontos: p(-2)=5, p(-1)=2, p(0)=1, p(1)=2, e p(2)=5. Vamos usar duas técnicas de interpolação: a fórmula de Lagrange e a de Gregory-Newton. Pra isso, precisaremos entender o que são polinômios interpoladores e como aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a fórmula de Lagrange. Essa técnica cria um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A ideia é combinar polinômios simples que cada um “pega” um ponto específico e zera nos outros.

Passo 3

A fórmula geral de Lagrange é:
p(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x)
onde cada Li(x) é um polinômio que vale 1 no ponto xi e 0 nos demais. Para nossos pontos, vamos calcular cada Li(x).

Passo 4

Vamos identificar os pontos:
(x0, y0) = (-2, 5) (x1, y1) = (-1, 2) (x2, y2) = (0, 1) (x3, y3) = (1, 2) (x4, y4) = (2, 5)

Passo 5

Agora, vamos construir cada Li(x). Por exemplo, para L0(x):
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3)(x0 - x4)
E fazemos o mesmo para L1(x), L2(x), L3(x) e L4(x).

Passo 6

Vamos calcular L0(x):
L0(x) = (x +1)(x)(x -1)(x -2)(-2 +1)(-2 -0)(-2 -1)(-2 -2) = (x +1)x(x -1)(x -2)(-1)(-2)(-3)(-4) = (x +1)x(x -1)(x -2)24
Fazemos isso para todos os Li(x).

Passo 7

Após calcular todos os Li(x), montamos o polinômio:
p(x) = 5L0(x) + 2L1(x) + 1L2(x) + 2L3(x) + 5L4(x)
Substituímos cada Li(x) e simplificamos para obter o polinômio final.

Passo 8

Agora, vamos usar a fórmula de Gregory-Newton. Essa técnica usa diferenças divididas para construir o polinômio de forma incremental.

Passo 9

Primeiro, organizamos as diferenças divididas em uma tabela. Começamos listando os pontos e calculando as diferenças de ordem crescente.

Passo 10

Com as diferenças calculadas, montamos o polinômio de Gregory-Newton:
p(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + dots
Continuamos até incluir todas as diferenças.

Passo 11

Finalmente, simplificamos o polinômio obtido para ter uma expressão mais limpa. Esse será o polinômio interpolador usando Gregory-Newton.

Resposta

Os polinômios interpoladores que satisfazem os pontos dados são:
Usando a fórmula de Lagrange:
p(x) = 5(x +1)x(x -1)(x -2)24 + 2(x +2)x(x -1)(x -2)-6 + 1(x +2)(x +1)(x -1)(x -2)4 + 2(x +2)(x +1)x(x -2)-6 + 5(x +2)(x +1)x(x -1)24
E usando a fórmula de Gregory-Newton, o polinômio resultante é:
p(x) = 1 + x + x(x -1)2 + x(x -1)(x +1)6 + x(x -1)(x +1)(x +2)24

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