Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para construir os polinômios interpoladores de Lagrange que passam pelos pontos , e . Vamos usar o conteúdo de interpolação polinomial, especificamente o método de Lagrange. Para isso, precisamos entender como montar o polinômio que passa exatamente por esses três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador de Lagrange. É um polinômio que passa por um conjunto dado de pontos e é construído usando as chamadas “funções base de Lagrange”. A fórmula geral para o polinômio de Lagrange de grau que interpola pontos é:
Onde cada é a função base de Lagrange definida por:

Passo 3

No nosso caso, temos três pontos: , e . Então, . Vamos identificar os valores:

Passo 4

Vamos calcular cada função base :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio interpolador usando a fórmula de Lagrange:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Agora, vamos expandir os produtos:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, vamos simplificar cada fração:

Passo 8

Vamos somar todos os termos:
Para somar, vamos encontrar um denominador comum, que é 30:
Agora, somamos os coeficientes:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange que satisfaz os pontos dados é:
Ou simplificando os coeficientes:

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Provar que
Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem ;
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.