Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem p(-1)=1, p(4)=3, p(2)=3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para construir os polinômios interpoladores de Lagrange que passam pelos pontos , e . Vamos usar o conteúdo de interpolação polinomial, especificamente o método de Lagrange. Para isso, precisamos entender como montar o polinômio que passa exatamente por esses três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador de Lagrange. É um polinômio que passa por um conjunto dado de pontos e é construído usando as chamadas “funções base de Lagrange”. A fórmula geral para o polinômio de Lagrange de grau p(x) = sumi=0^n-1 yi cdot Li(x) que interpola Li(x) = prodsubstack0 <= j <= n-1 j neq i x - xjxi - xj pontos é:
Onde cada é a função base de Lagrange definida por:

Passo 3

No nosso caso, temos três pontos: (x0, y0) = (-1, 1) , (x1, y1) = (4, 3) e (x2, y2) = (2, 3) . Então, . Vamos identificar os valores:

Passo 4

Vamos calcular cada função base L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 4)(x - 2)(-1 - 4)(-1 - 2) = (x - 4)(x - 2)(-5)(-3) = (x - 4)(x - 2)15 :
Para L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x + 1)(x - 2)(4 + 1)(4 - 2) = (x + 1)(x - 2)5 cdot 2 = (x + 1)(x - 2)10 :
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x + 1)(x - 4)(2 + 1)(2 - 4) = (x + 1)(x - 4)3 cdot (-2) = (x + 1)(x - 4)-6
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio interpolador p(x) = y0 cdot L0(x) + y1 cdot L1(x) + y2 cdot L2(x) usando a fórmula de Lagrange:
p(x) = 1 cdot (x - 4)(x - 2)15 + 3 cdot (x + 1)(x - 2)10 + 3 cdot (x + 1)(x - 4)-6
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
p(x) = (x - 4)(x - 2)15 + 3(x + 1)(x - 2)10 - 3(x + 1)(x - 4)6
Agora, vamos expandir os produtos:
(x - 4)(x - 2) = x^2 - 6x + 8
(x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2
(x + 1)(x - 4) = x^2 - 3x - 4
Substituindo de volta:
p(x) = x^2 - 6x + 815 + 3(x^2 - x - 2)10 - 3(x^2 - 3x - 4)6

Passo 7

Agora, vamos simplificar cada fração:
x^2 - 6x + 815 = x^215 - 6x15 + 815 = x^215 - 2x5 + 815
3(x^2 - x - 2)10 = 3x^2 - 3x - 610 = 3x^210 - 3x10 - 610 = 3x^210 - 3x10 - 35
- 3(x^2 - 3x - 4)6 = - 3x^2 - 9x - 126 = -3x^26 + 9x6 + 126 = -x^22 + 3x2 + 2

Passo 8

Vamos somar todos os termos:
p(x) = (x^215 - 2x5 + 815) + (3x^210 - 3x10 - 35) + (-x^22 + 3x2 + 2)
Para somar, vamos encontrar um denominador comum, que é 30:
p(x) = (2x^230 - 12x30 + 1630) + (9x^230 - 9x30 - 1830) + (-15x^230 + 45x30 + 6030)
Agora, somamos os coeficientes:
p(x) = (2x^2 + 9x^2 - 15x^230) + (-12x - 9x + 45x30) + (16 - 18 + 6030)
p(x) = (-4x^230) + (24x30) + (5830)
Simplificando os coeficientes:
p(x) = -2x^215 + 12x15 + 2915

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange que satisfaz os pontos dados é:
p(x) = -215x^2 + 1215x + 2915
Ou simplificando os coeficientes:
p(x) = -215x^2 + 45x + 2915

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