Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para construir os polinômios interpoladores de Lagrange que passam pelos pontos
,
e
. Vamos usar o conteúdo de interpolação polinomial, especificamente o método de Lagrange. Para isso, precisamos entender como montar o polinômio que passa exatamente por esses três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador de Lagrange. É um polinômio que passa por um conjunto dado de pontos e é construído usando as chamadas “funções base de Lagrange”. A fórmula geral para o polinômio de Lagrange de grau
que interpola
pontos é:
Onde cada
é a função base de Lagrange definida por:
Passo 3
No nosso caso, temos três pontos:
,
e
. Então,
. Vamos identificar os valores:
Passo 4
Vamos calcular cada função base
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio interpolador
usando a fórmula de Lagrange:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Agora, vamos expandir os produtos:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos simplificar cada fração:
Passo 8
Vamos somar todos os termos:
Para somar, vamos encontrar um denominador comum, que é 30:
Agora, somamos os coeficientes:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange que satisfaz os pontos dados é:
Ou simplificando os coeficientes: