Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.

Passo 1

Beleza, vamos simplificar essa expressão polinomial que você me passou. O que temos aqui são várias parcelas que são produtos de binômios do tipo , cada uma multiplicada por um coeficiente diferente. Nosso objetivo é expandir esses produtos e combinar os termos semelhantes para chegar a um polinômio simplificado. Vamos precisar usar a propriedade distributiva para expandir os produtos e conhecimentos básicos sobre polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cada um dos termos da expressão separadamente. Vamos começar com o primeiro termo:
Para expandir , fazemos o seguinte:
  1. Multiplicamos os dois primeiros binômios:
  2. Agora, multiplicamos o resultado pelo terceiro binômio:
Então, o primeiro termo expandido é:

Passo 3

Vamos repetir esse processo para os demais termos da expressão:
Segundo termo:
Expansão:
Terceiro termo:
Expansão:
Quarto termo:
Expansão:

Passo 4

Agora, vamos somar todos os termos expandidos:
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:

Resposta

A expressão simplificada é:

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Provar que, se são distintos, então
onde
Seja . Provar que