Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
-16(x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-3)(x-4)-32(x-1)(x-2)(x-4)+23(x-1)(x-2)(x-3).

Passo 1

Beleza, vamos simplificar essa expressão polinomial que você me passou. O que temos aqui são várias parcelas que são produtos de binômios do tipo (x - a)(x - b)(x - c), cada uma multiplicada por um coeficiente diferente. Nosso objetivo é expandir esses produtos e combinar os termos semelhantes para chegar a um polinômio simplificado. Vamos precisar usar a propriedade distributiva para expandir os produtos e conhecimentos básicos sobre polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cada um dos termos da expressão separadamente. Vamos começar com o primeiro termo:
-16(x - 2)(x - 3)(x - 4)
Para expandir (x - 2)(x - 3)(x - 4), fazemos o seguinte:
  1. Multiplicamos os dois primeiros binômios:
    (x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6
  2. Agora, multiplicamos o resultado pelo terceiro binômio:
    (x^2 - 5x + 6)(x - 4) = x^3 - 5x^2 + 6x - 4x^2 + 20x - 24 = x^3 - 9x^2 + 26x - 24
Então, o primeiro termo expandido é:
-16(x^3 - 9x^2 + 26x - 24) = -16x^3 + 32x^2 - 133x + 4

Passo 3

Vamos repetir esse processo para os demais termos da expressão:
Segundo termo:
(x - 1)(x - 3)(x - 4)
Expansão:
(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3 (x^2 - 4x + 3)(x - 4) = x^3 - 4x^2 + 3x - 4x^2 + 16x - 12 = x^3 - 8x^2 + 19x - 12
Terceiro termo:
-32(x - 1)(x - 2)(x - 4)
Expansão:
(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 (x^2 - 3x + 2)(x - 4) = x^3 - 4x^2 - 3x^2 + 12x + 2x - 8 = x^3 - 7x^2 + 14x - 8 -32(x^3 - 7x^2 + 14x - 8) = -32x^3 + 212x^2 - 21x + 12
Quarto termo:
23(x - 1)(x - 2)(x - 3)
Expansão:
(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 (x^2 - 3x + 2)(x - 3) = x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 23(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 23x^3 - 4x^2 + 223x - 4

Passo 4

Agora, vamos somar todos os termos expandidos:
&(-16x^3 + 32x^2 - 133x + 4) &+ (x^3 - 8x^2 + 19x - 12) &+ (-32x^3 + 212x^2 - 21x + 12) &+ (23x^3 - 4x^2 + 223x - 4)
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos de -16x^3 + x^3 - 32x^3 + 23x^3 = (-16 + 1 - 32 + 23)x^3 = (-16 + 66 - 96 + 46)x^3 = 0x^3 :
    32x^2 - 8x^2 + 212x^2 - 4x^2 = (32 - 8 + 212 - 4)x^2 = (3 + 212 - 12)x^2 = (242 - 12)x^2 = 0x^2
  • Termos de -133x + 19x - 21x + 223x = (-133 + 19 - 21 + 223)x = (-13 + 57 - 63 + 223)x = (-13 - 57 + 63 - 223)x = -13 - 57 + 63 - 223x = --21 + 633x = -423x = -14x :
    4 - 12 + 12 - 4 = 0
  • Termos de :
  • Termos constantes:

Resposta

A expressão simplificada é:
-14x

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