Provar que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que a soma
é igual a
para
. Aqui, estamos trabalhando com polinômios de Lagrange, que são usados para interpolação polinomial. Vamos precisar entender como esses polinômios funcionam e como eles se comportam quando multiplicados por potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Lagrange
. Ele é definido por:
Esse polinômio tem a propriedade de ser igual a 1 quando
e igual a 0 quando
para
. Isso significa que ele “seleciona” o ponto
na soma.
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma
. Cada termo dessa soma multiplica
pelo polinômio de Lagrange correspondente. Como os polinômios de Lagrange têm a propriedade de interpolar os valores nos pontos
, a soma inteira deve reconstruir o polinômio que passa pelos pontos
para
.
Passo 4
Sabemos que um polinômio de grau no máximo
que passa por esses pontos é exatamente
, já que
. Ou seja, o polinômio interpolador que estamos construindo pela soma dos polinômios de Lagrange multiplicados por
deve ser igual a
.
Passo 5
Portanto, concluímos que:
Resposta
A soma
é igual a
para todo
.