Provar que

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que a soma é igual a para . Aqui, estamos trabalhando com polinômios de Lagrange, que são usados para interpolação polinomial. Vamos precisar entender como esses polinômios funcionam e como eles se comportam quando multiplicados por potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Lagrange . Ele é definido por:
Esse polinômio tem a propriedade de ser igual a 1 quando e igual a 0 quando para . Isso significa que ele “seleciona” o ponto na soma.

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma . Cada termo dessa soma multiplica pelo polinômio de Lagrange correspondente. Como os polinômios de Lagrange têm a propriedade de interpolar os valores nos pontos , a soma inteira deve reconstruir o polinômio que passa pelos pontos para .

Passo 4

Sabemos que um polinômio de grau no máximo que passa por esses pontos é exatamente , já que . Ou seja, o polinômio interpolador que estamos construindo pela soma dos polinômios de Lagrange multiplicados por deve ser igual a .

Passo 5

Portanto, concluímos que:

Resposta

A soma é igual a para todo .

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com .
b) Com .
Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem ;
Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem ;