Provar que
sumk=0^n xk^m elln k(x)=x^m, m=1,2, ldots, n

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que a soma sumk=0^n xk^m elln k(x) é igual a x^m para m=1,2,ldots,n. Aqui, estamos trabalhando com polinômios de Lagrange, que são usados para interpolação polinomial. Vamos precisar entender como esses polinômios funcionam e como eles se comportam quando multiplicados por potências de xk.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Lagrange elln k(x). Ele é definido por:
elln k(x) = prodsubstackj=0 j neq k^n x - xjxk - xj
Esse polinômio tem a propriedade de ser igual a 1 quando x = xk e igual a 0 quando x = xj para j neq k. Isso significa que ele “seleciona” o ponto xk na soma.

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma sumk=0^n xk^m elln k(x). Cada termo dessa soma multiplica xk^m pelo polinômio de Lagrange correspondente. Como os polinômios de Lagrange têm a propriedade de interpolar os valores nos pontos xk, a soma inteira deve reconstruir o polinômio que passa pelos pontos (xk, xk^m) para k=0,1,ldots,n.

Passo 4

Sabemos que um polinômio de grau no máximo n que passa por esses pontos é exatamente x^m, já que m <= n. Ou seja, o polinômio interpolador que estamos construindo pela soma dos polinômios de Lagrange multiplicados por xk^m deve ser igual a x^m.

Passo 5

Portanto, concluímos que:
sumk=0^n xk^m elln k(x) = x^m, m=1,2, ldots, n

Resposta

A soma sumk=0^n xk^m elln k(x) é igual a x^m para todo m=1,2,ldots,n.

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