Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre polinômios interpoladores de Lagrange. Isso significa que precisamos encontrar um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados:
,
,
, e
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Lagrange, que nos ajuda a construir esse polinômio passo a passo.
Passo 2
Primeiro, identificamos os pontos dados. Temos quatro pontos:
,
,
e
. Vamos chamar esses pontos de
,
,
e
.
Passo 3
A fórmula do polinômio de Lagrange é dada por:
onde
são os polinômios de base de Lagrange, calculados por:
Aqui,
é o número de pontos menos um. No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos calcular cada
para os quatro pontos.
Para
(quando
):
Simplificando o denominador:
Então:
Para
(quando
):
Simplificando o denominador:
Então:
Para
(quando
):
Simplificando o denominador:
Então:
Para
(quando
):
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 5
Agora que temos todos os
, vamos montar o polinômio
usando a fórmula de Lagrange:
Substituindo os valores de
:
Então:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Passo 7
Para deixar o polinômio mais apresentável, vamos combinar os termos:
Podemos fatorar alguns termos ou simplificar, mas essa é a forma geral do polinômio interpolador de Lagrange que atende aos pontos fornecidos.
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange que satisfaz
,
,
e
é:
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Provar que
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Provar que, se
são distintos, então
onde