Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre polinômios interpoladores de Lagrange. Isso significa que precisamos encontrar um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados: , , , e . Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Lagrange, que nos ajuda a construir esse polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pontos dados. Temos quatro pontos: , , e . Vamos chamar esses pontos de , , e .

Passo 3

A fórmula do polinômio de Lagrange é dada por:
onde são os polinômios de base de Lagrange, calculados por:
Aqui, é o número de pontos menos um. No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular cada para os quatro pontos.
Para (quando ):
Simplificando o denominador:
Então:
Para (quando ):
Simplificando o denominador:
Então:
Para (quando ):
Simplificando o denominador:
Então:
Para (quando ):
Simplificando o denominador:
Então:

Passo 5

Agora que temos todos os , vamos montar o polinômio usando a fórmula de Lagrange:
Substituindo os valores de :
Então:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:

Passo 7

Para deixar o polinômio mais apresentável, vamos combinar os termos:
Podemos fatorar alguns termos ou simplificar, mas essa é a forma geral do polinômio interpolador de Lagrange que atende aos pontos fornecidos.

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange que satisfaz , , e é:

Exercícios relacionados

Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem ;
Provar que
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Provar que, se são distintos, então
onde