Construir os polinômios interpoladores de Lagrange que satisfazem p(-1)=1, p(0)=3, p(1.5)=3, p(2.5)=2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre polinômios interpoladores de Lagrange. Isso significa que precisamos encontrar um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados: p(-1)=1, p(0)=3, p(1.5)=3, e p(2.5)=2. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Lagrange, que nos ajuda a construir esse polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pontos dados. Temos quatro pontos: (-1, 1), (0, 3), (1.5, 3) e (2.5, 2). Vamos chamar esses pontos de (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3).

Passo 3

A fórmula do polinômio de Lagrange é dada por:
p(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x)
onde Li(x) são os polinômios de base de Lagrange, calculados por:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj
Aqui, n é o número de pontos menos um. No nosso caso, n=3.

Passo 4

Vamos calcular cada Li(x) para os quatro pontos.
Para L0(x) (quando i=0):
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) = (x - 0)(x - 1.5)(x - 2.5)(-1 - 0)(-1 - 1.5)(-1 - 2.5) = x(x - 1.5)(x - 2.5)(-1)(-2.5)(-3.5)
Simplificando o denominador:
(-1)(-2.5) = 2.5 2.5 times (-3.5) = -8.75
Então:
L0(x) = x(x - 1.5)(x - 2.5)-8.75
Para L1(x) (quando i=1):
L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) = (x + 1)(x - 1.5)(x - 2.5)(0 + 1)(0 - 1.5)(0 - 2.5) = (x + 1)(x - 1.5)(x - 2.5)1 times (-1.5) times (-2.5)
Simplificando o denominador:
1 times (-1.5) = -1.5 -1.5 times (-2.5) = 3.75
Então:
L1(x) = (x + 1)(x - 1.5)(x - 2.5)3.75
Para L2(x) (quando i=2):
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) = (x + 1)(x - 0)(x - 2.5)(1.5 + 1)(1.5 - 0)(1.5 - 2.5) = (x + 1)x(x - 2.5)(2.5)(1.5)(-1)
Simplificando o denominador:
2.5 times 1.5 = 3.75 3.75 times (-1) = -3.75
Então:
L2(x) = (x + 1)x(x - 2.5)-3.75
Para L3(x) (quando i=3):
L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) = (x + 1)(x - 0)(x - 1.5)(2.5 + 1)(2.5 - 0)(2.5 - 1.5) = (x + 1)x(x - 1.5)(3.5)(2.5)(1)
Simplificando o denominador:
3.5 times 2.5 = 8.75 8.75 times 1 = 8.75
Então:
L3(x) = (x + 1)x(x - 1.5)8.75

Passo 5

Agora que temos todos os Li(x), vamos montar o polinômio p(x) usando a fórmula de Lagrange:
p(x) = y0 cdot L0(x) + y1 cdot L1(x) + y2 cdot L2(x) + y3 cdot L3(x)
Substituindo os valores de yi:
p(x) = 1 cdot L0(x) + 3 cdot L1(x) + 3 cdot L2(x) + 2 cdot L3(x)
Então:
p(x) = x(x - 1.5)(x - 2.5)-8.75 + 3 cdot (x + 1)(x - 1.5)(x - 2.5)3.75 + 3 cdot (x + 1)x(x - 2.5)-3.75 + 2 cdot (x + 1)x(x - 1.5)8.75

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
x(x - 1.5)(x - 2.5)-8.75
  1. Segundo termo:
3 cdot (x + 1)(x - 1.5)(x - 2.5)3.75 = 33.75 cdot (x + 1)(x - 1.5)(x - 2.5) = 0.8 cdot (x + 1)(x - 1.5)(x - 2.5)
  1. Terceiro termo:
3 cdot (x + 1)x(x - 2.5)-3.75 = 3-3.75 cdot (x + 1)x(x - 2.5) = -0.8 cdot (x + 1)x(x - 2.5)
  1. Quarto termo:
2 cdot (x + 1)x(x - 1.5)8.75 = 28.75 cdot (x + 1)x(x - 1.5) = 0.22857 cdot (x + 1)x(x - 1.5)

Passo 7

Para deixar o polinômio mais apresentável, vamos combinar os termos:
p(x) = x(x - 1.5)(x - 2.5)-8.75 + 0.8(x + 1)(x - 1.5)(x - 2.5) - 0.8(x + 1)x(x - 2.5) + 0.22857(x + 1)x(x - 1.5)
Podemos fatorar alguns termos ou simplificar, mas essa é a forma geral do polinômio interpolador de Lagrange que atende aos pontos fornecidos.

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange que satisfaz p(-1)=1, p(0)=3, p(1.5)=3 e p(2.5)=2 é:
p(x) = x(x - 1.5)(x - 2.5)-8.75 + 0.8(x + 1)(x - 1.5)(x - 2.5) - 0.8(x + 1)x(x - 2.5) + 0.22857(x + 1)x(x - 1.5)

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